مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

1.

Condition nécessaire. Si $f$ est différentiable en $(x_{0},y_{0})$, alors $f$ y est continue et les dérivées partielles $f_{x}(x_{0},y_{0})$ et $f_{y}(x_{0},y_{0})$ existent (et plus généralement toutes les dérivées directionnelles existent, avec $D_{v}f=\nabla f\cdot v$).

2.

Condition suffisante. Si les dérivées partielles $f_{x}$ et $f_{y}$ existent dans un voisinage de $(x_{0},y_{0})$ et sont continues en $(x_{0},y_{0})$ (i.e. $f$ de classe $C^{1}$ au voisinage), alors $f$ est différentiable en $(x_{0},y_{0})$.

$\boxed{C^{1}\Rightarrow\text{différentiable}\Rightarrow\text{continue et dérivées partielles existent}}$

(Les réciproques sont fausses en général.)

1.

Posons $g(t)=xt^{2}+yt$ sur $[-1,1]$.

Cas $x\geq 0$ : $g$ est convexe, son maximum sur un segment est atteint en un bord : $g(\pm 1)=x\pm y$, donc $F=x+|y|$.

Cas $x\lt 0$ : $g$ est concave, de sommet $t^{*}=-\frac{y}{2x}$. Si $|t^{*}|\leq 1$, i.e. $|y|\leq-2x=2|x|$, le maximum est au sommet :

$F=g(t^{*})=x\frac{y^{2}}{4x^{2}}-\frac{y^{2}}{2x}=-\frac{y^{2}}{4x}$

Si $|t^{*}|\gt 1$ ($|y|\gt 2|x|$), le maximum est au bord le plus proche du sommet : $F=x+|y|$.

$\boxed{F(x,y)=x+|y|\ \text{si}\ x\geq 0\ \text{ou}\ |y|\geq 2|x|\ ;\qquad F(x,y)=-\frac{y^{2}}{4x}\ \text{sinon}}$

2.

Sur chacun des deux domaines ouverts, $F$ est continue (formules élémentaires, $x\neq 0$ dans le second). Sur la frontière $|y|=-2x$ ($x\lt 0$) : $-\frac{y^{2}}{4x}=-\frac{4x^{2}}{4x}=-x=x+2|x|=x+|y|$ : les deux formules coïncident. En outre $F$ est un max de fonctions continues sur un compact : par le théorème des fonctions marginales ($(x,y,t)\mapsto xt^{2}+yt$ continue, $[-1,1]$ compact), $F$ est continue :

$\boxed{F\in C^{0}(\mathbb{R}^{2})}$

3.

En $(0,0)$ : $F(t,0)=\max(t,0)\cdot 1$... calculons : pour $y=0$, $F(x,0)=x$ si $x\geq 0$ et $F(x,0)=0$ si $x\lt 0$ (sommet $t^{*}=0$). Le taux $\frac{F(h,0)-F(0,0)}{h}$ vaut $1$ pour $h\gt 0$ et $0$ pour $h\lt 0$ :

$\boxed{F_{x}(0,0)\ \text{n'existe pas}}$

Pour $x=0$ : $F(0,y)=|y|$, dont le taux en $0$ vaut $\pm 1$ :

$\boxed{F_{y}(0,0)\ \text{n'existe pas}}$

(En particulier $F$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.)

4.

$F(x,0)=x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ : pas de maximum global. Pour le minimum : $F\geq 0$ ? Non : $F(x,0)=x\lt 0$ est impossible car pour $x\lt 0$, $F(x,0)=0$. En fait $F(x,y)\geq g(0)=0$ toujours (le max sur $[-1,1]$ domine la valeur en $t=0$, qui est $0$) : $F\geq 0$, et $F=0$ est atteint (ex. $F(x,0)=0$ pour tout $x\leq 0$) :

$\boxed{\min_{\mathbb{R}^{2}}F=0\ \text{(atteint)},\qquad\text{pas de maximum global}}$

(Remarque : l'exercice 2 de ce sujet est illisible/tronqué sur le document scanné et n'a pas pu être reproduit.)