مسابقة دكتوراه 2018 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

Concours d'accès à la formation doctorale — Formation doctorale Mathématiques Appliquées, Spécialités MFA, MoDES et PSA — Épreuve générale, U.S.T.H.B., Faculté de Mathématiques — 26 Octobre 2017.

التمرين 1

Exercice 1 — Comparaison de deux horloges aléatoires

#probability#indicator-function#conditional-expectation#random-variables

Deux horloges $A$ et $B$ sont mises en marche au même instant (qu'on choisit comme l'instant $0$ ). L'horloge $A$ (resp. $B$ ) sonne après un temps aléatoire $T_A$ (resp. $T_B$ ). On suppose que $T_A$ et $T_B$ sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de densité respective $f$ et $g$ . On introduit les fonctions de répartitions

F(x) = P(T_A \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \quad \text{et} \quad G(y) = P(T_B \leq y) = \int_{-\infty}^y g(t) \, dt.

On pose $p = P(T_B \leq T_A) \in ]0, 1[$ .

Quelle est la loi de $\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}}$ ? Donner $\text{Var}(\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}})$ en fonction de $p$ .
Déterminer $p$ comme une intégrale en fonction de $G$ et $f$ (ou en fonction de $F$ et $g$ ). Vérifier que, si $f = g$ , alors $p = 1/2$ .
On pose $S = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}} \mid T_A]$ et $T = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}} \mid T_B]$ . Déterminer $S$ et $T$ . Donner $\mathbb{E}[S]$ et $\mathbb{E}[T]$ .

◀الحل

1.

$\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}} \sim \text{Bernoulli}(p)$ . $\text{Var} = p(1-p)$ .

\boxed{\text{Var}(\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}}) = p(1-p)}

2.

$p = P(T_B \leq T_A) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(t) f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} (1 - F(t)) g(t) dt$ .

Si $f = g$ : $p = \int G(t) f(t) dt$ . Par symétrie de $T_A$ et $T_B$ : $P(T_B \leq T_A) = P(T_A \leq T_B)$ . Comme $p + P(T_A \lt T_B) = 1$ et les v.a. sont continues (pas d'ex aequo p.s.), $p = 1/2$ .

3.

$S = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}} \mid T_A] = P(T_B \leq T_A \mid T_A) = G(T_A)$ .

$T = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{T_B \leq T_A\}} \mid T_B] = P(T_B \leq T_A \mid T_B) = 1 - F(T_B)$ .

$\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[T] = p$ par la loi de l'espérance totale.

التمرين 2

Exercice 2 — Estimation de π par méthode de Monte Carlo

#probability#monte-carlo#estimation#confidence-interval

On se propose d'utiliser la variable $V = \sqrt{1 - U^2}$ , où $U$ suit la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

Montrer que $\mathbb{E}[V] = \frac{\pi}{4}$ .
En déduire une méthode d'estimation de $\pi$ à partir d'un échantillon $U_1, U_2, \ldots, U_n$ de $U$ , l'estimateur ainsi défini étant noté $T$ .
Montrer que $T$ est sans biais et convergent.
À partir d'un intervalle de confiance asymptotique de $\pi$ obtenu par la présente méthode (au seuil de confiance 95%), déterminer le nombre minimal de variables uniformes à générer pour obtenir une précision absolue d'au moins 3%.

◀الحل

1.

$\mathbb{E}[V] = \int_0^1 \sqrt{1-u^2} du = \frac{\pi}{4}$ (aire du quart de disque unité).

\boxed{\mathbb{E}[V] = \frac{\pi}{4}}

2.

$T = \frac{4}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1 - U_i^2}$ est un estimateur de $\pi$ .

3.

$\mathbb{E}[T] = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$ , sans biais. Par la LGN, $T \to \pi$ p.s., donc convergent.

4.

Par le TCL : $\frac{T - \pi}{\sigma_T / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ asymptotiquement, avec $\sigma_T^2 = 16 \text{Var}(V)$ .

$\text{Var}(V) = \mathbb{E}[1-U^2] - (\pi/4)^2 = 2/3 - \pi^2/16 \approx 0.0498$ . IC à 95% : $|T - \pi| \leq 1.96 \cdot \frac{4\sigma}{\sqrt{n}} \leq 0.03$ .

\boxed{n \geq \left(\frac{1.96 \times 4 \times 0.223}{0.03}\right)^2 \approx 3397}

التمرين 3

Exercice 3 — Chaînes de Markov : maximum de jets de dé

#markov-chains#transition-matrix#stochastic-processes

Étant donné une suite $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables aléatoire indépendantes de même loi, à valeurs dans un ensemble $E_1$ fini ou dénombrable, et la variable aléatoire $X_0$ indépendante des $Y_n$ à valeurs dans un ensemble $E_2$ fini ou dénombrable. Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ le processus défini par :

\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad X_{n+1} = f(X_n, Y_{n+1}) = \max(X_n, Y_{n+1}),

où $f$ est une fonction à valeurs dans $E_2$ . Montrer que $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov.

Soit $X_n$ la v.a. égale à la valeur maximale obtenue après $n$ jets d'un dé. Montrer que $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov. Déterminer sa matrice de transition et étudier la chaîne.

◀الحل

1.

$(X_n)$ est une chaîne de Markov car $X_{n+1} = f(X_n, Y_{n+1})$ avec $Y_{n+1}$ indépendant de $(X_0, \ldots, X_n)$ . Donc la loi de $X_{n+1}$ conditionnellement à $(X_0, \ldots, X_n)$ ne dépend que de $X_n$ .

2.

$X_n = \max(Y_1, \ldots, Y_n)$ avec $Y_i$ iid uniformes sur $\{1,\ldots,6\}$ . On a $X_{n+1} = \max(X_n, Y_{n+1})$ , donc c'est une chaîne de Markov sur $E = \{1,\ldots,6\}$ .

Matrice de transition : $P(X_{n+1} = j \mid X_n = i)$ :

Si $j \lt i$ : $P_{ij} = 0$
Si $j = i$ : $P_{ii} = i/6$ (le dé donne $\leq i$ )
Si $j \gt i$ : $P_{ij} = 1/6$

L'état 6 est absorbant ( $P_{66} = 1$ ). La chaîne converge vers l'état 6.

\boxed{\lim_{n \to \infty} P(X_n = 6) = 1}