مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours Doctorat de 3ème cycle — Formation Doctorale Mathématiques Appliquées, Option Probabilités, Statistique et Applications — Épreuve Générale, Faculté de Mathématiques (USTHB) — Durée 01h30 (date non précisée, estimée 2018/2019).

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation paramétrique : loi uniforme

#statistics#uniform-distribution#mle#fisher-information#sufficient-statistic

Soit $D$ la v.a. représentant la durée d'une communication téléphonique. On suppose que $D$ est de loi uniforme sur l'intervalle $[0, \theta]$ , où $\theta$ est positif. On observe un $n$ -échantillon de $D$ .

On propose comme estimateur de $\theta$ la statistique $t = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n D_i$ . Cet estimateur est-il sans biais ? Est-il convergent ?
Donner une statistique exhaustive pour $\theta$ que l'on notera $S$ . Donner la loi de $S$ .
Déterminer $T$ , l'EMV de $\theta$ . Déterminer sa loi de probabilité. Cet estimateur est-il sans biais ? Est-il convergent ?
Soit $V$ l'estimateur sans biais proportionnel au précédent. Est-il convergent ? Comparer $V$ et $T$ .
Calculer la quantité d'information de Fisher $I(\theta)$ relative à $\theta$ . Comparer $\text{Var}(V)$ et $I(\theta)$ . Expliquer ce résultat.

◀الحل

1.

$\mathbb{E}(t) = \frac{2}{n} \cdot n \cdot \frac{\theta}{2} = \theta$ , donc $t$ est sans biais. $\text{Var}(t) = \frac{4}{n^2} \cdot n \cdot \frac{\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3n} \to 0$ . Donc $t$ est convergent.

\boxed{t \text{ est sans biais et convergent}}

2.

Par le critère de factorisation, $S = D_{(n)} = \max(D_1,\ldots,D_n)$ est exhaustive. Sa densité est $f_S(s) = \frac{n s^{n-1}}{\theta^n}$ pour $s \in [0,\theta]$ .

3.

$T = D_{(n)}$ est l'EMV. $\mathbb{E}(T) = \frac{n}{n+1}\theta \neq \theta$ , donc $T$ est biaisé. Comme $T \to \theta$ p.s., il est convergent.

4.

$V = \frac{n+1}{n} T$ est sans biais. $\text{Var}(V) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}$ . $\text{Var}(V) \lt \text{Var}(t)$ pour $n \geq 2$ , donc $V$ est meilleur que $t$ .

5.

$I(\theta) = \frac{n}{\theta^2}$ . La borne de Cramér-Rao est $\frac{1}{I(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}$ . Or $\text{Var}(V) = \frac{\theta^2}{n(n+2)} \lt \frac{\theta^2}{n}$ . Cela ne contredit pas Cramér-Rao car la loi uniforme ne vérifie pas les conditions de régularité.

التمرين 2

Exercice 2 — Tribu et mesure de probabilité sur les dénombrables

#measure-theory#sigma-algebra#probability-measure

Soit $F = \{A \subset \mathbb{R} : A \text{ dénombrable ou } \overline{A} \text{ dénombrable}\}$ .

Montrer que $F$ est une tribu sur $\mathbb{R}$ .
Soit $\mu$ une application définie sur $F$ par $\mu(A) = 0$ si $A$ est dénombrable et $\mu(A) = 1$ si $\overline{A}$ est dénombrable. Montrer que $\mu$ est une mesure de probabilité.
Soit $A \in F$ de mesure strictement positive. Montrer que $\forall B \in F, B \subset A$ on a $\mu(B) = 0$ ou $\mu(A - B) = 0$ .

◀الحل

1.

$\emptyset$ est dénombrable donc $\emptyset \in F$ . Si $A \in F$ , alors $\overline{A}$ est tel que soit $A$ soit $\overline{A}$ est dénombrable, ce qui donne $\overline{A} \in F$ . Pour l'union dénombrable : si tous les $A_i$ sont dénombrables, $\bigcup A_i$ est dénombrable. Sinon, un $A_i$ a son complémentaire dénombrable, et $\overline{\bigcup A_i} \subset \overline{A_i}$ est dénombrable. Donc $F$ est une tribu.

2.

$\mu(\mathbb{R}) = 1$ car $\overline{\mathbb{R}} = \emptyset$ est dénombrable. Pour la $\sigma$ -additivité : si $(A_i)$ sont disjoints, au plus un peut avoir $\overline{A_i}$ dénombrable (car si deux l'avaient, leur intersection serait co-dénombrable mais ils sont disjoints). Donc $\mu(\bigcup A_i) = \sum \mu(A_i)$ .

3.

$\mu(A) \gt 0$ implique $\overline{A}$ dénombrable. Si $B \subset A$ , alors soit $B$ dénombrable ( $\mu(B)=0$ ), soit $\overline{B}$ dénombrable. Dans ce cas, $A-B \subset \overline{B}$ est dénombrable, donc $\mu(A-B)=0$ .

\boxed{\mu(B)=0 \text{ ou } \mu(A-B)=0}

التمرين 3

Exercice 3 — Moments de la loi normale centrée réduite

#probability#normal-distribution#moments

Soit $X$ une v.a. de loi normale centrée réduite. Calculer le moment d'ordre $n$ , pour tout entier $n$ .

◀الحل

Soit $m_n = \mathbb{E}(X^n)$ . Par symétrie de la densité, $m_n = 0$ si $n$ est impair.

Pour $n$ pair, par IPP : $m_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-x^2/2} dx$ . En intégrant par parties avec $u = x^{n-1}$ , $dv = x e^{-x^2/2} dx$ , on obtient $m_n = (n-1) m_{n-2}$ .

Donc par récurrence :

\boxed{m_{2p} = (2p-1)!! = \frac{(2p)!}{2^p p!}, \quad m_{2p+1} = 0}