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مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours Doctorat de 3ème cycle — Formation Doctorale Mathématiques Appliquées, Option Probabilités, Statistique et Applications — Épreuve de Spécialité, Faculté de Mathématiques (USTHB) — Durée 01h30 (date non précisée, estimée 2018/2019).

التمرين 1

Exercice 1 — Estimation non paramétrique par noyau

#statistics#kernel-density-estimation#nonparametric#bias

Soit (Xn)n≥1(X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires de même loi que XX, absolument continue, admettant une densité ff dérivable et à dérivée bornée sur R\mathbb{R} et de fonction de répartition FF. Soit fnf_n un estimateur de ff défini par :

fn(x)=1nh∑i=1nK(x−Xih),f_n(x) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\left(\frac{x - X_i}{h}\right),

où h>0h \gt 0 et K:R→R+K : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ est une fonction mesurable vérifiant :

∫RK(u)du=1,∫RuK(u)du=0,∫Ru2K(u)du<∞.\int_{\mathbb{R}} K(u) du = 1, \quad \int_{\mathbb{R}} u K(u) du = 0, \quad \int_{\mathbb{R}} u^2 K(u) du \lt \infty.
  1. Montrer que fn(x)f_n(x) est une densité de probabilité.
  2. Soit HH la fonction définie par H(x)=∫−∞xK(u)duH(x) = \int_{-\infty}^x K(u) du. Construire, à partir de fnf_n, l'estimateur de FF noté FnF_n en fonction de HH et hh.
  3. Montrer que E(Fn(x))=∫RK(u)F(x−uh)du\mathbb{E}(F_n(x)) = \int_{\mathbb{R}} K(u) F(x - uh) du.
  4. En déduire que Biais(Fn(x))=Ch2\text{Biais}(F_n(x)) = Ch^2 où CC est une constante à préciser.
◀الحل

1.

fn(x)≥0f_n(x) \geq 0 car K≥0K \geq 0. ∫fn(x)dx=1nh∑i=1n∫K(x−Xih)dx=1n∑i=1n1=1\int f_n(x) dx = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n \int K\left(\frac{x-X_i}{h}\right) dx = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1 = 1.

fn est une densiteˊ\boxed{f_n \text{ est une densité}}

2.

Fn(x)=∫−∞xfn(t)dt=1n∑i=1nH(x−Xih)F_n(x) = \int_{-\infty}^x f_n(t) dt = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n H\left(\frac{x - X_i}{h}\right).

3.

E(Fn(x))=E[H(x−Xh)]=∫H(x−th)f(t)dt\mathbb{E}(F_n(x)) = \mathbb{E}\left[H\left(\frac{x-X}{h}\right)\right] = \int H\left(\frac{x-t}{h}\right) f(t) dt. Par changement u=(x−t)/hu = (x-t)/h : =∫K(u)F(x−uh)du= \int K(u) F(x-uh) du.

4.

Par Taylor : F(x−uh)≈F(x)−uhF′(x)+u2h22F′′(x)F(x-uh) \approx F(x) - uhF'(x) + \frac{u^2h^2}{2}F''(x). Donc E(Fn(x))≈F(x)+h22F′′(x)∫u2K(u)du\mathbb{E}(F_n(x)) \approx F(x) + \frac{h^2}{2}F''(x)\int u^2 K(u) du car ∫uK(u)du=0\int uK(u)du = 0.

Biais=h22f′(x)∫u2K(u)du\boxed{\text{Biais} = \frac{h^2}{2} f'(x) \int u^2 K(u) du}

التمرين 2

Exercice 2 — Processus de naissance et de mort : file d'attente M/M/c

#stochastic-processes#birth-death-process#queueing-theory#poisson-process#stationary-distribution

On modélise l'arrivée d'appels à un central téléphonique par un processus de Poisson de taux λ\lambda. Les durées des appels sont supposées indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle de paramètre μ\mu. Le central dispose de cc lignes. Un appel entrant trouvant toutes les lignes occupées est perdu. Soit XtX_t le nombre de lignes occupées à l'instant tt, t≥0t \geq 0.

  1. Donner les propriétés du processus (Xt)t≥0(X_t)_{t \geq 0}. Préciser l'ensemble des états EE et donner le générateur infinitésimal QQ.
  2. On pose pi(t)=P(Xt=i)p_i(t) = P(X_t = i), i∈Ei \in E. Écrire les équations de Chapman-Kolmogorov.
  3. Écrire les équations d'équilibre (en régime stationnaire) en supposant que pi=lim⁡t→+∞pi(t)p_i = \lim_{t \to +\infty} p_i(t).
  4. Trouver la distribution stationnaire du nombre de lignes occupées. Déterminer sa loi limite lorsque cc est très grand.
  5. Donner la longueur moyenne des périodes durant lesquelles au moins une ligne est occupée.
◀الحل

1.

(Xt)(X_t) est un processus de naissance et de mort sur E={0,1,…,c}E = \{0, 1, \ldots, c\} avec taux de naissance λi=λ\lambda_i = \lambda pour i<ci \lt c, λc=0\lambda_c = 0 et taux de mort μi=iμ\mu_i = i\mu.

Le générateur QQ a Qi,i+1=λQ_{i,i+1} = \lambda, Qi,i−1=iμQ_{i,i-1} = i\mu, Qi,i=−(λ+iμ)Q_{i,i} = -(\lambda + i\mu).

2.

pi′(t)=λpi−1(t)−(λ+iμ)pi(t)+(i+1)μpi+1(t)p_i'(t) = \lambda p_{i-1}(t) - (\lambda + i\mu) p_i(t) + (i+1)\mu p_{i+1}(t) pour 1≤i≤c−11 \leq i \leq c-1, avec p0′(t)=−λp0+μp1p_0'(t) = -\lambda p_0 + \mu p_1 et pc′(t)=λpc−1−cμpcp_c'(t) = \lambda p_{c-1} - c\mu p_c.

3.

En régime stationnaire pi′=0p_i' = 0 : λpi−1=iμpi\lambda p_{i-1} = i\mu p_i donne

pi=ρii!p0avec ρ=λ/μp_i = \frac{\rho^i}{i!} p_0 \quad \text{avec } \rho = \lambda/\mu

4.

Par normalisation ∑i=0cpi=1\sum_{i=0}^c p_i = 1 : p0=(∑i=0cρii!)−1p_0 = \left(\sum_{i=0}^c \frac{\rho^i}{i!}\right)^{-1} (formule d'Erlang). Quand c→∞c \to \infty, p0→e−ρp_0 \to e^{-\rho} et

X∼Poisson(ρ) en loi limite\boxed{X \sim \text{Poisson}(\rho) \text{ en loi limite}}

5.

La probabilité d'être en état 0 est p0p_0. La durée moyenne en 0 est 1/λ1/\lambda. La longueur moyenne d'une période occupée est

1−p0λp0\boxed{\frac{1-p_0}{\lambda p_0}}

التمرين 3

Exercice 3 — Définition et propriété des martingales

#martingale#conditional-expectation#stochastic-processes
  1. Donner la définition mathématique d'une martingale à temps discret.
  2. Soit (Xn)n(X_n)_n une martingale par rapport à la filtration (Fn)n(\mathcal{F}_n)_n. Montrer que
E(Xn+k∣Fn)=Xn,∀k≥0.\mathbb{E}(X_{n+k} \mid \mathcal{F}_n) = X_n, \quad \forall k \geq 0.
◀الحل

1.

Une suite (Xn)n≥0(X_n)_{n \geq 0} adaptée à (Fn)(\mathcal{F}_n) est une martingale si :

  • E(∣Xn∣)<∞\mathbb{E}(|X_n|) \lt \infty pour tout nn,
  • E(Xn+1∣Fn)=Xn\mathbb{E}(X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n) = X_n p.s. pour tout nn.

2.

Par récurrence sur kk. Le cas k=0k=0 est trivial et k=1k=1 est la définition. Si la propriété est vraie au rang kk :

E(Xn+k+1∣Fn)=E(E(Xn+k+1∣Fn+k)∣Fn)=E(Xn+k∣Fn)=Xn\mathbb{E}(X_{n+k+1} \mid \mathcal{F}_n) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X_{n+k+1} \mid \mathcal{F}_{n+k}) \mid \mathcal{F}_n) = \mathbb{E}(X_{n+k} \mid \mathcal{F}_n) = X_n.

E(Xn+k∣Fn)=Xn\boxed{\mathbb{E}(X_{n+k} \mid \mathcal{F}_n) = X_n}