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مسابقة دكتوراه 2021 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1

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Concours d'accès à la Formation Doctorale Mathématiques Appliquées 2020-2021 — Spécialités : Mathématiques Financières, Probabilités, Statistiques et Applications — Épreuve "Générale" (01h30, coefficient 1), USTHB, Faculté de Mathématiques — 06 Mars 2021. Les exercices 1 et 2 sont obligatoires, au choix entre exercices 3 et 4.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi log-normale : propriétés et moments

#probability#log-normal-distribution#expectation#moment-generating-function

Une variable aléatoire XX à valeurs dans ]0,+∞[]0, +\infty[ est dite de loi log-normale de paramètre (μ,σ2)(\mu, \sigma^2) si la v.a. Y=log⁡XY = \log X suit une loi gaussienne N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et on écrit X↪L(μ,σ2)X \hookrightarrow \mathcal{L}(\mu, \sigma^2).

  1. (1,5 pts) Écrire la fonction de répartition d'une v.a. XX de loi L(μ,σ2)\mathcal{L}(\mu, \sigma^2).
  2. (1,5 pts) Calculer l'espérance et la variance d'une v.a. XX de loi L(μ,σ2)\mathcal{L}(\mu, \sigma^2).
  3. (2 pts) Montrer que si X↪L(μ,σ2)X \hookrightarrow \mathcal{L}(\mu, \sigma^2) alors Xr↪L(rμ,r2σ2)X^r \hookrightarrow \mathcal{L}(r\mu, r^2\sigma^2) pour tout r≠0r \neq 0. En déduire la valeur de E(Xr)E(X^r) pour tout r∈Rr \in \mathbb{R}.
  4. (1 pt) Calculer E(etX)E(e^{tX}) pour tout t∈Rt \in \mathbb{R}.
◀الحل

1.

FX(x)=P(X≤x)=P(eY≤x)=P(Y≤ln⁡x)=Φ(ln⁡x−μσ)F_X(x) = P(X \leq x) = P(e^Y \leq x) = P(Y \leq \ln x) = \Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) pour x>0x \gt 0.

2.

E(X)=E(eY)=eμ+σ2/2E(X) = E(e^Y) = e^{\mu + \sigma^2/2} (fonction génératrice des moments de la gaussienne).

E(X2)=e2μ+2σ2E(X^2) = e^{2\mu + 2\sigma^2}. Var(X)=e2μ+σ2(eσ2−1)\text{Var}(X) = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).

E(X)=eμ+σ2/2,Var(X)=e2μ+σ2(eσ2−1)\boxed{E(X) = e^{\mu+\sigma^2/2}, \quad \text{Var}(X) = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)}

3.

log⁡(Xr)=rlog⁡X=rY\log(X^r) = r\log X = rY. Comme Y∼N(μ,σ2)Y \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), rY∼N(rμ,r2σ2)rY \sim \mathcal{N}(r\mu, r^2\sigma^2). Donc Xr∼L(rμ,r2σ2)X^r \sim \mathcal{L}(r\mu, r^2\sigma^2).

E(Xr)=erμ+r2σ2/2\boxed{E(X^r) = e^{r\mu + r^2\sigma^2/2}}

4.

E(etX)=∫0∞etxfX(x)dxE(e^{tX}) = \int_0^\infty e^{tx} f_X(x) dx. Cette intégrale diverge pour tout t>0t \gt 0 (la queue de la log-normale est trop lourde). Pour t≤0t \leq 0, E(etX)≤1<∞E(e^{tX}) \leq 1 \lt \infty.

E(etX) n’existe pas pour t>0\boxed{E(e^{tX}) \text{ n'existe pas pour } t \gt 0}

التمرين 2

Exercice 2 — Chaîne de Markov : évolution de formations végétales

#markov-chains#transition-matrix#stationary-distribution#stochastic-processes

On étudie l'évolution au cours du temps des formations végétales sur un vaste territoire en les décomposant en trois catégories : lande (l), maquis (m) et forêt (f). On modélise cette dynamique par une chaîne de Markov (Xn)n(X_n)_n d'espace d'états E={l,m,f}E = \{l, m, f\} et de matrice de transition

P=(0,60,400,150,650,20,10,20,7).P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 & 0 \\\\ 0{,}15 & 0{,}65 & 0{,}2 \\\\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}.
  1. (1 pt) Tracer le graphe des états de cette chaîne de Markov puis déterminer sa nature.
  2. (1 pt) Quelle est la probabilité qu'une formation végétale passe de l'état forêt à l'état maquis ?
  3. (1 pt) Quelle est la probabilité qu'une formation végétale passe de l'état forêt à l'état lande en 2 étapes ?
  4. (1 pt) Quelle est la probabilité de premier passage de l'état forêt à l'état lande en 2 étapes ?
  5. (1 pt) Calculer la probabilité P(X1=l,X2=m,X3=f∣X0=f)P(X_1 = l, X_2 = m, X_3 = f \mid X_0 = f).
  6. (1 pt) Si la distribution initiale est π(0)=(0,50,40,1)\pi(0) = (0{,}5 \quad 0{,}4 \quad 0{,}1), calculer π(1)\pi(1).
  7. (1 pt) Y a-t-il une limite à l'évolution des formations végétales ? Si oui déterminer cette limite.
◀الحل

1.

Tous les états communiquent (la chaîne est irréductible) et apériodique (Pii>0P_{ii} \gt 0 pour tout ii). Nature : chaîne ergodique.

2.

P(f→m)=Pfm=0,2P(f \to m) = P_{fm} = 0{,}2.

0,2\boxed{0{,}2}

3.

(P2)fl=0,1×0,6+0,2×0,15+0,7×0,1=0,06+0,03+0,07=0,16(P^2)_{fl} = 0{,}1 \times 0{,}6 + 0{,}2 \times 0{,}15 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}06 + 0{,}03 + 0{,}07 = 0{,}16.

0,16\boxed{0{,}16}

4.

Premier passage de ff à ll en 2 étapes : on ne passe pas par ll à l'étape 1. ffl(2)=PfmPml+PffPfl=0,2×0,15+0,7×0,1=0,03+0,07=0,10f_{fl}^{(2)} = P_{fm}P_{ml} + P_{ff}P_{fl} = 0{,}2 \times 0{,}15 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}03 + 0{,}07 = 0{,}10.

Mais il faut exclure le passage direct par ll : Pfl=0,1P_{fl} = 0{,}1 donc premier passage en 2 = (P2)fl−Pfl⋅Pll(P^2)_{fl} - P_{fl} \cdot P_{ll}... En fait, ffl(2)=(P2)fl−PflPll=0,16−0,1×0,6=0,10f_{fl}^{(2)} = (P^2)_{fl} - P_{fl}P_{ll} = 0{,}16 - 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}10.

0,10\boxed{0{,}10}

5.

P(X1=l,X2=m,X3=f∣X0=f)=Pfl⋅Plm⋅Pmf=0,1×0,4×0,2=0,008P(X_1=l, X_2=m, X_3=f \mid X_0=f) = P_{fl} \cdot P_{lm} \cdot P_{mf} = 0{,}1 \times 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}008.

0,008\boxed{0{,}008}

6.

π(1)=π(0)P=(0,5×0,6+0,4×0,15+0,1×0,1,…)=(0,37,0,48,0,15)\pi(1) = \pi(0) P = (0{,}5 \times 0{,}6 + 0{,}4 \times 0{,}15 + 0{,}1 \times 0{,}1, \ldots) = (0{,}37, 0{,}48, 0{,}15).

π(1)=(0,370,480,15)\boxed{\pi(1) = (0{,}37 \quad 0{,}48 \quad 0{,}15)}

7.

La chaîne est ergodique, donc π(n)→π∗\pi(n) \to \pi^* avec π∗P=π∗\pi^* P = \pi^*. En résolvant le système : 0,6π1+0,15π2+0,1π3=π10{,}6\pi_1 + 0{,}15\pi_2 + 0{,}1\pi_3 = \pi_1, etc., on obtient la distribution stationnaire.

Oui, il existe une distribution limite π∗\boxed{\text{Oui, il existe une distribution limite } \pi^*}

التمرين 3

Exercice 3 — Tribu engendrée et mesure image

#measure-theory#sigma-algebra#image-measure#dirac-measure

Soient (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) un espace probabilisé et XX une variable aléatoire réelle sur (Ω,F)(\Omega, \mathcal{F}).

  1. On pose D={X−1(B),B∈BR}\mathcal{D} = \{X^{-1}(B), B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\} où BR\mathcal{B}_{\mathbb{R}} est la tribu de Borel. Montrer que D\mathcal{D} est une tribu sur Ω\Omega. Que représente D\mathcal{D} ?
  2. On définit sur BR\mathcal{B}_{\mathbb{R}} l'application QQ par Q(B)=P(X−1(B))Q(B) = P(X^{-1}(B)), pour tout B∈BRB \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}. Montrer que QQ est une mesure de probabilité sur (Ω,F)(\Omega, \mathcal{F}).
  3. Soit maintenant (Ω,F,P)=(R,BR,δa)(\Omega, \mathcal{F}, P) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}}, \delta_a) où a∈Ra \in \mathbb{R} et δa\delta_a est la mesure de probabilité de Dirac. Déterminer QQ.
◀الحل

1.

X−1(R)=Ω∈DX^{-1}(\mathbb{R}) = \Omega \in \mathcal{D}. Si A=X−1(B)∈DA = X^{-1}(B) \in \mathcal{D}, alors Ac=X−1(Bc)∈DA^c = X^{-1}(B^c) \in \mathcal{D}. Si An=X−1(Bn)A_n = X^{-1}(B_n), alors ⋃An=X−1(⋃Bn)∈D\bigcup A_n = X^{-1}(\bigcup B_n) \in \mathcal{D}. Donc D\mathcal{D} est une tribu.

D=σ(X)\mathcal{D} = \sigma(X) est la tribu engendrée par XX, la plus petite tribu rendant XX mesurable.

2.

Q(R)=P(X−1(R))=P(Ω)=1Q(\mathbb{R}) = P(X^{-1}(\mathbb{R})) = P(\Omega) = 1. Q≥0Q \geq 0. Pour (Bn)(B_n) disjoints : Q(⋃Bn)=P(X−1(⋃Bn))=P(⋃X−1(Bn))=∑P(X−1(Bn))=∑Q(Bn)Q(\bigcup B_n) = P(X^{-1}(\bigcup B_n)) = P(\bigcup X^{-1}(B_n)) = \sum P(X^{-1}(B_n)) = \sum Q(B_n).

QQ est la loi de XX (mesure image de PP par XX).

3.

Q(B)=P(X−1(B))=δa(X−1(B))Q(B) = P(X^{-1}(B)) = \delta_a(X^{-1}(B)). Or δa(A)=1A(a)\delta_a(A) = \mathbf{1}_A(a). Donc Q(B)=1X−1(B)(a)=1B(X(a))Q(B) = \mathbf{1}_{X^{-1}(B)}(a) = \mathbf{1}_B(X(a)).

Comme XX est l'identité sur R\mathbb{R}, X(a)=aX(a) = a et

Q=δa\boxed{Q = \delta_a}

التمرين 4

Exercice 4 — Régression linéaire : moindres carrés et information de Fisher

#statistics#linear-regression#least-squares#maximum-likelihood#fisher-information

On considère le modèle de régression Yi=α+βxi+ϵiY_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i, pour i=1,…,ni = 1, \ldots, n où x1,…,xnx_1, \ldots, x_n sont fixés et ϵ1,…,ϵn\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n sont des v.a. indépendantes de même loi N(0,σ2)\mathcal{N}(0, \sigma^2).

  1. (2 pts) Démontrer que les estimateurs des moindres carrés pour α\alpha et β\beta sont les estimateurs du maximum de vraisemblance.
  2. (1 pt) Donner la densité de YiY_i pour i=1,…,ni = 1, \ldots, n.
  3. (2 pts) Supposons que α\alpha est connu. Calculer l'estimateur des moindres carrés de β\beta et sa variance.
  4. (1 pt) Calculer l'information de Fisher J(β)J(\beta), puis la borne de Rao-Cramer.
  5. (1 pt) Que peut-on conclure ?
◀الحل

1.

La vraisemblance est L=∏12πσe−(Yi−α−βxi)2/(2σ2)L = \prod \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(Y_i-\alpha-\beta x_i)^2/(2\sigma^2)}. Maximiser LL revient à minimiser ∑(Yi−α−βxi)2\sum(Y_i - \alpha - \beta x_i)^2, ce qui est exactement le critère des moindres carrés.

2.

Yi∼N(α+βxi,σ2)Y_i \sim \mathcal{N}(\alpha + \beta x_i, \sigma^2). fYi(y)=12πσe−(y−α−βxi)2/(2σ2)f_{Y_i}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(y-\alpha-\beta x_i)^2/(2\sigma^2)}.

3.

On minimise ∑(Yi−α−βxi)2\sum(Y_i - \alpha - \beta x_i)^2 par rapport à β\beta seul. ∂∂β=−2∑xi(Yi−α−βxi)=0\frac{\partial}{\partial \beta} = -2\sum x_i(Y_i - \alpha - \beta x_i) = 0.

β^=∑xi(Yi−α)∑xi2,Var(β^)=σ2∑xi2\boxed{\hat{\beta} = \frac{\sum x_i(Y_i - \alpha)}{\sum x_i^2}, \quad \text{Var}(\hat{\beta}) = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}}

4.

J(β)=∑xi2σ2J(\beta) = \frac{\sum x_i^2}{\sigma^2}. La borne de Cramér-Rao est 1J(β)=σ2∑xi2\frac{1}{J(\beta)} = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}.

5.

Var(β^)=σ2∑xi2=1J(β)\text{Var}(\hat{\beta}) = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2} = \frac{1}{J(\beta)}. L'estimateur atteint la borne de Cramér-Rao, il est donc efficace (UMVUE).

β^ est un estimateur efficace\boxed{\hat{\beta} \text{ est un estimateur efficace}}