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مسابقة دكتوراه 2023 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 2سا

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Concours doctorat LMD — Année universitaire 2022-2023 — Épreuve de Spécialité (Sujet 2), USTHB, Faculté de Mathématiques, Département Analyse, Filière Mathématiques (EDP) — Date 02/02/2023 — Durée 2 heures.

التمرين 1

Exercice 1 — Formulation variationnelle d'un problème aux limites

#variational-formulation#sobolev-spaces#boundary-value-problem#weak-solution

Étant données α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} et f∈C([a,b])f \in \mathscr{C}([a,b]), on cherche à résoudre le problème suivant, avec conditions aux limites :

{−u′′+u=fsur ]a,b[u(a)=α,u(b)=β.\begin{cases} -u'' + u = f & \text{sur } ]a,b[ \\\\ u(a) = \alpha, \quad u(b) = \beta. \end{cases}

a. (1 pt) Montrer que A={u∈H1(a,b):u(a)=α et u(b)=β}A = \{u \in H^1(a,b) : u(a) = \alpha \text{ et } u(b) = \beta\} est convexe et fermé dans H1(a,b)H^1(a,b). b. (2 pts) Montrer que, pour toute f∈L2(a,b)f \in L^2(a,b), il existe une unique u0∈H1(a,b)u_0 \in H^1(a,b) telle que pour tout v∈Av \in A :

∫abu0′(v′−u0′)dx+∫abu0(v−u0)dx≥∫abf(v−u0)dx.\int_a^b u_0'(v' - u_0') dx + \int_a^b u_0(v - u_0) dx \geq \int_a^b f(v - u_0) dx.

c. (1 pt) En déduire que ∫abu0′v′dx+∫abu0vdx=∫abfvdx\int_a^b u_0' v' dx + \int_a^b u_0 v dx = \int_a^b f v dx pour tout v∈H01(a,b)v \in H_0^1(a,b). d. (1 pt) Montrer que si f∈C([a,b])f \in \mathscr{C}([a,b]), alors u0u_0 est deux fois continûment dérivable sur [a,b][a,b]. e. (2 pts) En déduire que u0u_0 est solution de l'équation.

◀الحل

a.

AA est un sous-ensemble affine fermé de H1H^1. Si u,v∈Au,v \in A et t∈[0,1]t \in [0,1], (1−t)u+tv(1-t)u+tv vérifie les conditions aux limites. Fermé car les évaluations en aa et bb sont continues sur H1H^1 (injection de Sobolev).

b.

C'est le théorème de Stampacchia/projection sur un convexe fermé. La forme bilinéaire a(u,v)=∫u′v′+uva(u,v) = \int u'v' + uv est continue et coercive sur H1H^1.

c.

Pour v∈H01v \in H_0^1, on prend u0+tvu_0 + tv et u0−tvu_0 - tv dans l'inégalité (car u0±tv∈Au_0 \pm tv \in A si v(a)=v(b)=0v(a)=v(b)=0), ce qui donne l'égalité.

d.

Par régularité elliptique : u0′′=u0−f∈L2u_0'' = u_0 - f \in L^2, donc u0∈H2u_0 \in H^2. Si f∈Cf \in C, alors u0∈C2u_0 \in C^2.

e.

Par IPP dans la formulation faible : ∫(−u0′′+u0−f)v=0\int(-u_0''+u_0-f)v = 0 pour tout v∈H01v \in H_0^1, donc −u0′′+u0=f-u_0''+u_0 = f p.p., et par continuité partout.

التمرين 2

Exercice 2 — Opérateur intégral auto-adjoint sur L²

#integral-operator#self-adjoint#spectral-radius#l2-space

Dans cet exercice, les espaces seront complexes. Soit φ:[0,1]→R\varphi : [0,1] \to \mathbb{R} une fonction continue.

a. (2 pts) Montrer que (Af)(x)=φ(x)∫01φ(t)f(t)dt(Af)(x) = \varphi(x) \int_0^1 \varphi(t) f(t) dt définit une application linéaire continue de L2([0,1])L^2([0,1]) dans lui-même. b. (1,5 pts) Montrer que AA est auto-adjoint : A∗=AA^* = A. c. (1,5 pts) Montrer qu'il existe λ≥0\lambda \geq 0, que l'on précisera, tel que A2=λAA^2 = \lambda A. d. (2 pts) Déterminer le rayon spectral de AA en fonction de λ\lambda ; le calculer pour φ(x)=x1+x\varphi(x) = \frac{x}{1+x}.

◀الحل

a.

Af(x)=φ(x)⟨f,φ⟩Af(x) = \varphi(x) \langle f, \varphi \rangle. C'est linéaire. ∥Af∥2=∣⟨f,φ⟩∣∥φ∥2≤∥φ∥22∥f∥2\|Af\|_2 = |\langle f,\varphi\rangle| \|\varphi\|_2 \leq \|\varphi\|_2^2 \|f\|_2. Donc AA est continue.

b.

⟨Af,g⟩=⟨f,φ⟩⟨φ,g⟩=⟨f,⟨g,φ⟩‾φ⟩=⟨f,Ag⟩\langle Af, g \rangle = \langle f, \varphi \rangle \langle \varphi, g \rangle = \langle f, \overline{\langle g,\varphi \rangle} \varphi \rangle = \langle f, Ag \rangle. Donc A=A∗A = A^*.

c.

A2f=A(φ⟨f,φ⟩)=φ⟨φ⟨f,φ⟩,φ⟩=φ⟨f,φ⟩∥φ∥22=λAfA^2 f = A(\varphi \langle f,\varphi \rangle) = \varphi \langle \varphi \langle f,\varphi \rangle, \varphi \rangle = \varphi \langle f,\varphi \rangle \|\varphi\|_2^2 = \lambda Af avec λ=∥φ∥22=∫01φ2(t)dt\lambda = \|\varphi\|_2^2 = \int_0^1 \varphi^2(t)dt.

d.

AA est auto-adjoint de rang 1, ses valeurs propres sont 00 et λ\lambda. Le rayon spectral est r(A)=λ=∥φ∥22r(A) = \lambda = \|\varphi\|_2^2.

Pour φ(x)=x/(1+x)\varphi(x) = x/(1+x) : r(A)=∫01x2(1+x)2dx=∫01(1−21+x+1(1+x)2)dx=1−2ln⁡2+12r(A) = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x)^2} dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{1+x} + \frac{1}{(1+x)^2}\right)dx = 1 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}.

r(A)=32−2ln⁡2\boxed{r(A) = \frac{3}{2} - 2\ln 2}

التمرين 3

Exercice 3 — Ouvert convexe de fonctions positives et Hahn-Banach

#functional-analysis#convex-sets#hahn-banach#continuous-functions

Soit C([0,1])\mathscr{C}([0,1]) l'espace des fonctions continues f:[0,1]→Rf : [0,1] \to \mathbb{R}, muni de la norme uniforme.

a. (2 pts) Montrer que A={f∈C([0,1]):f(x)>0  ∀x∈[0,1]}\mathcal{A} = \{f \in \mathscr{C}([0,1]) : f(x) \gt 0 \; \forall x \in [0,1]\} est un ouvert convexe. b. (2,5 pts) Soit B={g∈C([0,1]):g(1/n)=−1/n  ∀n∈N∗}\mathcal{B} = \{g \in \mathscr{C}([0,1]) : g(1/n) = -1/n \; \forall n \in \mathbb{N}^*\}. Montrer qu'il existe une forme linéaire continue ϕ\phi et un réel aa tels que ϕ(f)≥a≥ϕ(g)\phi(f) \geq a \geq \phi(g) pour toute f∈Af \in \mathcal{A} et toute g∈Bg \in \mathcal{B}. c. (1,5 pts) Montrer que ϕ(f)≥0\phi(f) \geq 0 pour tout f∈Af \in \mathcal{A}.

◀الحل

a.

Ouvert : si f>0f \gt 0 sur [0,1][0,1] (compact), alors min⁡f=ϵ>0\min f = \epsilon \gt 0. La boule B(f,ϵ)⊂AB(f, \epsilon) \subset \mathcal{A}. Convexe : si f,g>0f, g \gt 0, alors tf+(1−t)g>0tf + (1-t)g \gt 0.

b.

A∩B=∅\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset car g∈Bg \in \mathcal{B} vérifie g(1/n)=−1/n<0g(1/n) = -1/n \lt 0, et par continuité g(0)=0g(0) = 0, donc gg n'est pas strictement positive. Par le théorème de Hahn-Banach (séparation d'un convexe ouvert et d'un convexe), il existe ϕ∈C′\phi \in \mathscr{C}' et a∈Ra \in \mathbb{R} séparant A\mathcal{A} et B\mathcal{B}.

c.

A\mathcal{A} est un cône : si f∈Af \in \mathcal{A} et λ>0\lambda \gt 0, alors λf∈A\lambda f \in \mathcal{A}. Donc ϕ(λf)=λϕ(f)≥a\phi(\lambda f) = \lambda \phi(f) \geq a pour tout λ>0\lambda \gt 0. Si ϕ(f)<0\phi(f) \lt 0, alors λϕ(f)→−∞\lambda \phi(f) \to -\infty, contradiction. Donc ϕ(f)≥0\phi(f) \geq 0.