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مسابقة دكتوراه 2025 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation doctorale de 3ème cycle — Année universitaire 2024/2025 — Épreuve commune, Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene (USTHB), Faculté de Mathématiques, Filière Mathématiques Appliquées, Spécialités OStoch, PSA, ROM et ROMAaD — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Matrices nilpotentes, inversibilité et matrices stochastiques

#linear-algebra#nilpotent-matrix#matrix-inverse#stochastic-matrix

I. Soit BB une matrice carrée de taille n×nn \times n, nilpotente d'indice 3, et A=In−BA = I_n - B.

  1. (1 pt) Montrer que AA est inversible et que A−1=In+B+B2A^{-1} = I_n + B + B^2.
  2. (2 pts) On pose B=(0rs00t000)B = \begin{pmatrix} 0 & r & s \\\\ 0 & 0 & t \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, où rr, ss et tt sont des réels non nuls. Montrer que BB est nilpotente et déterminer A−1A^{-1} explicitement.

II. On considère M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \end{pmatrix} une matrice dont les éléments a,b,c,da, b, c, d sont des réels strictement positifs tels que a+c=b+d=1a + c = b + d = 1. Soit P=(b1c−1)P = \begin{pmatrix} b & 1 \\\\ c & -1 \end{pmatrix}.

  1. (1 pt) Montrer que PP est inversible et déterminer son inverse P−1P^{-1}.
  2. (1 pt) Montrer que P−1MP=(100a−b)P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & a - b \end{pmatrix}. En déduire MnM^n pour tout nn dans N∗\mathbb{N}^*.
  3. (2 pts) Montrer que ∣a−b∣<1|a - b| \lt 1. En déduire que lim⁡n→∞Mn=1b+c(bbcc)\lim_{n \to \infty} M^n = \frac{1}{b+c} \begin{pmatrix} b & b \\\\ c & c \end{pmatrix}.
◀الحل

I.1.

B3=0B^3 = 0. (I−B)(I+B+B2)=I+B+B2−B−B2−B3=I(I-B)(I+B+B^2) = I + B + B^2 - B - B^2 - B^3 = I. Donc AA est inversible et A−1=I+B+B2A^{-1} = I + B + B^2.

I.2.

B2=(00rt000000)B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & rt \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B3=0B^3 = 0. Donc BB est nilpotente d'indice ≤3\leq 3 (et exactement 3 car B2≠0B^2 \neq 0 puisque rt≠0rt \neq 0).

A−1=(1rs+rt01t001)\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & r & s+rt \\\\ 0 & 1 & t \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

II.1.

det⁡(P)=−b−c=−(b+c)≠0\det(P) = -b - c = -(b+c) \neq 0 car b,c>0b, c \gt 0.

P−1=1b+c(11c−b)\boxed{P^{-1} = \frac{1}{b+c} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ c & -b \end{pmatrix}}

II.2.

Calcul direct : P−1MP=(100a−b)=DP^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & a-b \end{pmatrix} = D. Donc M=PDP−1M = PDP^{-1} et Mn=PDnP−1M^n = PD^nP^{-1}.

Mn=P(100(a−b)n)P−1M^n = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} P^{-1}

II.3.

a+c=1a + c = 1 et a,c>0a, c \gt 0 impliquent 0<a<10 \lt a \lt 1. De même b+d=1b + d = 1 et b>0b \gt 0 impliquent 0<b<10 \lt b \lt 1. Donc ∣a−b∣<1|a-b| \lt 1. Quand n→∞n \to \infty : (a−b)n→0(a-b)^n \to 0.

lim⁡n→∞Mn=1b+c(bbcc)\boxed{\lim_{n \to \infty} M^n = \frac{1}{b+c} \begin{pmatrix} b & b \\\\ c & c \end{pmatrix}}

التمرين 2

Exercice 2 — Régression linéaire et coefficient de corrélation

#statistics#linear-regression#correlation#least-squares

Soit la série statistique {(xi,yi),i=1,…,n}\{(x_i, y_i), i = 1, \ldots, n\} avec nn un entier naturel non nul. Les {yi}\{y_i\} représentent les valeurs d'une variable endogène YY et les {xi}\{x_i\} les valeurs d'une variable exogène XX.

  1. (0,5 pt) Comment appelle-t-on la représentation graphique des points {(xi,yi)}\{(x_i, y_i)\} ?
  2. (1 pt) Qu'appelle-t-on coefficient de corrélation linéaire entre XX et YY ? On le notera ρ\rho.
  3. (1,5 pts) Montrer que −1≤ρ≤1-1 \leq \rho \leq 1.
  4. (2 pts) On désire expliquer YY en fonction de XX à l'aide d'une relation affine Y=aX+bY = aX + b; on retient la droite qui minimise la distance. On note y^i=axi+b\hat{y}_i = ax_i + b et ϵi=yi−y^i\epsilon_i = y_i - \hat{y}_i. On considère la méthode qui consiste à minimiser E=∑i=1nϵi2E = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2. Comment appelle-t-on cette méthode ? Déterminer le couple (a^,b^)(\hat{a}, \hat{b}) qui réalise le minimum de EE. Donner l'équation de la droite.
  5. (1 pt) On désire maintenant expliquer XX à l'aide de YY sous la forme X=αY+βX = \alpha Y + \beta. Donner α\alpha et β\beta. Les deux droites sont-elles confondues ? Dans quel cas elles le sont ?
◀الحل

1.

C'est un nuage de points (ou diagramme de dispersion).

2.

Le coefficient de corrélation linéaire est ρ=Cov(X,Y)σXσY=xy‾−xˉyˉ(x2‾−xˉ2)(y2‾−yˉ2)\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\overline{xy} - \bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\overline{x^2}-\bar{x}^2)(\overline{y^2}-\bar{y}^2)}}.

3.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : ∣Cov(X,Y)∣≤σXσY|\text{Cov}(X,Y)| \leq \sigma_X \sigma_Y, donc ∣ρ∣≤1|\rho| \leq 1.

−1≤ρ≤1\boxed{-1 \leq \rho \leq 1}

4.

C'est la méthode des moindres carrés. ∂E∂b=0\frac{\partial E}{\partial b} = 0 donne b^=yˉ−a^xˉ\hat{b} = \bar{y} - \hat{a}\bar{x}. ∂E∂a=0\frac{\partial E}{\partial a} = 0 donne

a^=Cov(X,Y)Var(X),b^=yˉ−a^xˉ\boxed{\hat{a} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}, \quad \hat{b} = \bar{y} - \hat{a}\bar{x}}

Droite : Y=a^X+b^Y = \hat{a}X + \hat{b}.

5.

α=Cov(X,Y)Var(Y)\alpha = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(Y)}, β=xˉ−αyˉ\beta = \bar{x} - \alpha \bar{y}. Les deux droites ne sont pas confondues en général. Elles le sont si et seulement si ∣ρ∣=1|\rho| = 1 (corrélation parfaite).

Confondues  ⟺  ∣ρ∣=1\boxed{\text{Confondues} \iff |\rho| = 1}

التمرين 3

Exercice 3 — Suite de Riemann généralisée : convergence selon α

#analysis#sequences#series-convergence#riemann-series#telescoping

Soit α\alpha un nombre réel. Pour tout nn dans N∗\mathbb{N}^*, on pose :

un=∑k=1n1kα=1+12α+13α+⋯+1nα.u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha} = 1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \cdots + \frac{1}{n^\alpha}.
  1. (1 pt) Montrer que la suite (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} est strictement croissante.
  2. (1 pt) Énoncer le théorème des accroissements finis.
  3. (2,5 pts) On suppose que α>1\alpha \gt 1. a. Montrer que, pour tout xx dans ]1,+∞[]1, +\infty[, on a l'inégalité suivante :
1xα<1α−1[1(x−1)α−1−1xα−1].\frac{1}{x^\alpha} \lt \frac{1}{\alpha - 1}\left[\frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}} - \frac{1}{x^{\alpha-1}}\right].

b. En déduire que la suite (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} est convergente. 4. (2,5 pts) On suppose que α=1\alpha = 1. a. Montrer que, pour tout xx dans ]1,+∞[]1, +\infty[, on a l'encadrement suivant :

ln⁡(x+1)−ln⁡(x)<1x<ln⁡(x)−ln⁡(x−1).\ln(x+1) - \ln(x) \lt \frac{1}{x} \lt \ln(x) - \ln(x-1).

b. En déduire que la suite (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} est divergente. c. En déduire un équivalent de unu_n au voisinage de +∞+\infty. 5. (1 pt) Que peut-on conclure sur la nature de la suite (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}, pour α<1\alpha \lt 1 ?

◀الحل

1.

un+1−un=1(n+1)α>0u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^\alpha} \gt 0, donc (un)(u_n) est strictement croissante.

2.

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et dérivable sur ]a,b[]a,b[, alors il existe c∈]a,b[c \in ]a,b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b-a).

3.a.

On applique le TAF à f(t)=t1−α/(1−α)f(t) = t^{1-\alpha}/(1-\alpha) sur [x−1,x][x-1, x] : il existe c∈]x−1,x[c \in ]x-1, x[ tel que x1−α−(x−1)1−α1−α=c−α\frac{x^{1-\alpha} - (x-1)^{1-\alpha}}{1-\alpha} = c^{-\alpha}. Comme c>x−1c \gt x-1, on a c−α<(x−1)−αc^{-\alpha} \lt (x-1)^{-\alpha}... En fait, on utilise f(t)=t−αf(t) = t^{-\alpha} décroissante : 1xα<∫x−1xt−αdt=1α−1[(x−1)1−α−x1−α]\frac{1}{x^\alpha} \lt \int_{x-1}^x t^{-\alpha} dt = \frac{1}{\alpha-1}\left[(x-1)^{1-\alpha} - x^{1-\alpha}\right].

3.b.

En sommant de k=2k=2 à nn : ∑k=2n1kα<1α−1[1−1nα−1]<1α−1\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^\alpha} \lt \frac{1}{\alpha-1}\left[1 - \frac{1}{n^{\alpha-1}}\right] \lt \frac{1}{\alpha-1}. Donc un<1+1α−1u_n \lt 1 + \frac{1}{\alpha-1}, la suite est majorée et croissante, donc convergente.

4.a.

Par le TAF sur ln⁡\ln : ln⁡(x+1)−ln⁡(x)1=1c\frac{\ln(x+1)-\ln(x)}{1} = \frac{1}{c} avec c∈]x,x+1[c \in ]x, x+1[, donc 1c<1x\frac{1}{c} \lt \frac{1}{x}. De même ln⁡(x)−ln⁡(x−1)1=1c′\frac{\ln(x) - \ln(x-1)}{1} = \frac{1}{c'} avec c′∈]x−1,x[c' \in ]x-1,x[, donc 1c′>1x\frac{1}{c'} \gt \frac{1}{x}.

4.b.

En sommant le côté droit : un−1=∑k=2n1k<∑ln⁡(k)−ln⁡(k−1)=ln⁡nu_n - 1 = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \lt \sum \ln(k) - \ln(k-1) = \ln n... et le côté gauche donne un>ln⁡(n+1)u_n \gt \ln(n+1). Comme ln⁡n→∞\ln n \to \infty, la suite diverge.

4.c.

ln⁡(n+1)<un<1+ln⁡n\ln(n+1) \lt u_n \lt 1 + \ln n, donc

un∼ln⁡n\boxed{u_n \sim \ln n}

5.

Pour α<1\alpha \lt 1 : 1kα≥1k\frac{1}{k^\alpha} \geq \frac{1}{k} pour kk assez grand (car α<1\alpha \lt 1). La série harmonique diverge, donc (un)(u_n) diverge aussi.

(un) diverge pour α<1\boxed{(u_n) \text{ diverge pour } \alpha \lt 1}