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مسابقة دكتوراه 2026 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation doctorale de 3ème cycle, Année universitaire 2025/2026, Filière Mathématiques Appliquées, Spécialités OStoch, PSA, ROM et ROMAd, Épreuve commune (Durée 1h30), Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Faculté de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Variable aléatoire du maximum dans un tirage d'urnes

#probability#random-variables#expectation#riemann-sums

On considère kk urnes contenant chacune nn boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à nn. On prélève une boule dans chaque urne et on appelle XnX_n la variable aléatoire réelle égale au plus grand des numéros obtenus.

  1. Déterminer Ω\Omega. On choisit comme tribu A=P(Ω)A = \mathcal{P}(\Omega), et comme mesure de probabilité P\mathbb{P} la probabilité uniforme.
  2. Préciser Xn(Ω)X_n(\Omega), puis calculer P(Xn=1)\mathbb{P}(X_n = 1).
  3. Calculer P(Xn≤h)\mathbb{P}(X_n \leq h), pour h∈Xn(Ω)h \in X_n(\Omega).
  4. En déduire P(Xn=h)\mathbb{P}(X_n = h), pour h∈Xn(Ω)h \in X_n(\Omega).
  5. Déterminer un équivalent de E(Xn)\mathbb{E}(X_n), lorsque nn tend vers +∞+\infty, (kk fixé).
◀الحل

1.

L'espace des résultats est l'ensemble de tous les kk-uplets de numéros obtenus :

Ω={1,2,…,n}k\Omega = \{1, 2, \ldots, n\}^k

On a ∣Ω∣=nk|\Omega| = n^k. La tribu est A=P(Ω)A = \mathcal{P}(\Omega) et P\mathbb{P} est la probabilité uniforme.

2.

Le maximum de kk valeurs dans {1,…,n}\{1, \ldots, n\} prend toute valeur de 1 à nn :

Xn(Ω)={1,2,…,n}X_n(\Omega) = \{1, 2, \ldots, n\}

Xn=1X_n = 1 signifie que toutes les boules tirées portent le numéro 1 :

P(Xn=1)=1nk\boxed{\mathbb{P}(X_n = 1) = \frac{1}{n^k}}

3.

Xn≤hX_n \leq h signifie que toutes les boules tirées ont un numéro ≤h\leq h. Il y a hkh^k résultats favorables :

P(Xn≤h)=(hn)k\boxed{\mathbb{P}(X_n \leq h) = \left(\frac{h}{n}\right)^k}

4.

P(Xn=h)=P(Xn≤h)−P(Xn≤h−1)\mathbb{P}(X_n = h) = \mathbb{P}(X_n \leq h) - \mathbb{P}(X_n \leq h-1) P(Xn=h)=hk−(h−1)knk\boxed{\mathbb{P}(X_n = h) = \frac{h^k - (h-1)^k}{n^k}}

Cette formule est valable pour tout h∈{1,…,n}h \in \{1, \ldots, n\}.

5.

On utilise la formule :

E(Xn)=n−∑h=0n−1(hn)k\mathbb{E}(X_n) = n - \sum_{h=0}^{n-1} \left(\frac{h}{n}\right)^k

La somme 1n∑h=0n−1(hn)k\frac{1}{n}\sum_{h=0}^{n-1} \left(\frac{h}{n}\right)^k est une somme de Riemann pour ∫01tk dt=1k+1\int_0^1 t^k \, dt = \frac{1}{k+1}, donc ∑h=0n−1(hn)k∼nk+1\sum_{h=0}^{n-1} \left(\frac{h}{n}\right)^k \sim \frac{n}{k+1}.

E(Xn)∼knk+1\boxed{\mathbb{E}(X_n) \sim \frac{kn}{k+1}}

التمرين 2

Exercice 2 — Bijection, intégrales et équation différentielle

#real-analysis#bijection#integration-by-parts#differential-equations#inverse-function

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0,1[]0, 1[ par

f(x)=1−xx.f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{x}}.
  1. Montrer que la fonction ff réalise une bijection de l'intervalle ]0,1[]0, 1[ sur un intervalle à préciser.
  2. Déterminer l'expression de la fonction réciproque f−1f^{-1}.
  3. Sans faire le calcul de la dérivée de f−1f^{-1}, déterminer la valeur de (f−1)′(1)(f^{-1})'(1).
  4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale
∫2y2(1+y2)2 dy.\int \frac{2y^2}{(1 + y^2)^2}\,dy.
  1. En effectuant le changement de variable y=f(x)y = f(x), montrer que
∫f(x) dx=x f(x)−arctan⁡(f(x))+C,C∈R.\int f(x)\,dx = x\,f(x) - \arctan(f(x)) + C, \quad C \in \mathbb{R}.
  1. Résoudre sur l'intervalle ]0,1[]0, 1[, l'équation différentielle suivante :
2x(1−x) y′+y=2(1−x)2(E).2x(1-x)\,y' + y = 2(1-x)^2 \qquad (E).
◀الحل

1.

On calcule :

f′(x)=−12x3/2(1−x)1/2f'(x) = \frac{-1}{2x^{3/2}(1-x)^{1/2}}

Comme f′(x)<0f'(x) \lt 0 pour tout x∈]0,1[x \in ]0,1[, ff est strictement décroissante. De plus lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty et lim⁡x→1−f(x)=0\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0.

Par le théorème de la bijection :

f:]0,1[→]0,+∞[ est une bijection\boxed{f : ]0,1[ \to ]0, +\infty[ \text{ est une bijection}}

2.

Soit y=f(x)y = f(x). Alors y2=1−xx=1x−1y^2 = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1, d'où x=11+y2x = \frac{1}{1+y^2}.

f−1(y)=11+y2\boxed{f^{-1}(y) = \frac{1}{1 + y^2}}

3.

On utilise (f−1)′(y0)=1f′(f−1(y0))(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.

f−1(1)=12f^{-1}(1) = \frac{1}{2} et f′ ⁣(12)=−12(1/2)3/2(1/2)1/2=−2f'\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-1}{2(1/2)^{3/2}(1/2)^{1/2}} = -2.

(f−1)′(1)=−12\boxed{(f^{-1})'(1) = -\frac{1}{2}}

4.

Intégration par parties avec u=yu = y et dv=2y(1+y2)2 dydv = \frac{2y}{(1+y^2)^2}\,dy, d'où du=dydu = dy et v=−11+y2v = \frac{-1}{1+y^2} :

∫2y2(1+y2)2 dy=−y1+y2+∫dy1+y2\int \frac{2y^2}{(1+y^2)^2}\,dy = \frac{-y}{1+y^2} + \int \frac{dy}{1+y^2} ∫2y2(1+y2)2 dy=arctan⁡(y)−y1+y2+C\boxed{\int \frac{2y^2}{(1+y^2)^2}\,dy = \arctan(y) - \frac{y}{1+y^2} + C}

5.

On pose y=f(x)y = f(x), donc x=11+y2x = \frac{1}{1+y^2} et dx=−2y(1+y2)2 dydx = \frac{-2y}{(1+y^2)^2}\,dy.

∫f(x) dx=∫y⋅−2y(1+y2)2 dy=−∫2y2(1+y2)2 dy=y1+y2−arctan⁡(y)+C\int f(x)\,dx = \int y \cdot \frac{-2y}{(1+y^2)^2}\,dy = -\int \frac{2y^2}{(1+y^2)^2}\,dy = \frac{y}{1+y^2} - \arctan(y) + C

Or y1+y2=y⋅x=x f(x)\frac{y}{1+y^2} = y \cdot x = x\,f(x), donc :

∫f(x) dx=x f(x)−arctan⁡(f(x))+C\boxed{\int f(x)\,dx = x\,f(x) - \arctan(f(x)) + C}

6.

Sous forme canonique : y′+12x(1−x) y=1−xxy' + \frac{1}{2x(1-x)}\,y = \frac{1-x}{x}.

Facteur intégrant : 12x(1−x)=12 ⁣(1x+11−x)\frac{1}{2x(1-x)} = \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}\right), d'où

μ(x)=exp⁡ ⁣(12ln⁡x1−x)=x1−x\mu(x) = \exp\!\left(\frac{1}{2}\ln\frac{x}{1-x}\right) = \sqrt{\frac{x}{1-x}}

En multipliant par μ\mu :

ddx ⁣(yx1−x)=1−xx=f(x)\frac{d}{dx}\!\left(y\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right) = \sqrt{\frac{1-x}{x}} = f(x)

En intégrant et en utilisant la question 5 :

yx1−x=x f(x)−arctan⁡(f(x))+Cy\sqrt{\frac{x}{1-x}} = x\,f(x) - \arctan(f(x)) + C

Or x f(x)=x1−xx=x(1−x)x\,f(x) = x\sqrt{\frac{1-x}{x}} = \sqrt{x(1-x)} et 1−xx⋅x(1−x)=1−x\sqrt{\frac{1-x}{x}} \cdot \sqrt{x(1-x)} = 1-x, donc :

y(x)=(1−x)+(C−arctan⁡ ⁣1−xx)1−xx\boxed{y(x) = (1-x) + \left(C - \arctan\!\sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\sqrt{\frac{1-x}{x}}}

التمرين 3

Exercice 3 — Endomorphisme sur les matrices symétriques

#linear-algebra#symmetric-matrices#endomorphism#eigenvalues#diagonalization

Soit l'ensemble V={M∈M2(R)  /  tM=M}V = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \;/\; {}^tM = M\}.

  1. Montrer que VV est un sous-espace vectoriel de M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}).
  2. Déterminer une base de VV ainsi que la dimension de VV.
  3. On pose
A=(1102)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

et pour toute matrice M∈VM \in V, on note :

f(M)=AM(tA).f(M) = A M({}^tA).

Montrer que ff est un endomorphisme de VV. 4. Donner la matrice BB associée à ff dans la base de VV obtenue précédemment. 5. Déterminer le spectre de ff. 6. L'endomorphisme ff est-il diagonalisable sur R\mathbb{R} ? Justifier.

◀الحل

1.

0M2∈V0_{\mathcal{M}_2} \in V car t0=0{}^t0 = 0. Soient M,N∈VM, N \in V et α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} :

t(αM+βN)=α tM+β tN=αM+βN∈V.{}^t(\alpha M + \beta N) = \alpha\,{}^tM + \beta\,{}^tN = \alpha M + \beta N \in V.

Donc VV est un sous-espace vectoriel de M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}).

2.

Toute matrice symétrique 2×22 \times 2 s'écrit

M=(abbc)=aE1+bE2+cE3M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = aE_1 + bE_2 + cE_3

avec

E1=(1000),E2=(0110),E3=(0001).E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

(E1,E2,E3)(E_1, E_2, E_3) est une base de VV et

dim⁡(V)=3\boxed{\dim(V) = 3}

3.

Pour M∈VM \in V : t(f(M))=t(AM tA)=A tM tA=AM tA=f(M){}^t(f(M)) = {}^t(AM\,{}^tA) = A\,{}^tM\,{}^tA = AM\,{}^tA = f(M), donc f(M)∈Vf(M) \in V.

La linéarité de ff découle de celle du produit matriciel. Donc ff est un endomorphisme de VV.

4.

Avec

tA=(1012){}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

on calcule :

f(E1)=(1000)=E1f(E_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_1 f(E2)=(2220)=2E1+2E2f(E_2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 2E_1 + 2E_2 f(E3)=(1224)=E1+2E2+4E3f(E_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = E_1 + 2E_2 + 4E_3 B=(121022004)\boxed{B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}}

5.

BB est triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux :

Sp(f)={1,2,4}\boxed{\mathrm{Sp}(f) = \{1, 2, 4\}}

6.

ff possède 3 valeurs propres distinctes dans un espace de dimension 3, donc ff est diagonalisable sur R\mathbb{R}.