مسابقة دكتوراه 2026 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 2سا

Concours d'accès à la formation Doctorale de Troisième cycle — Année 2025-2026 — Filière Mathématiques — Épreuve de Spécialité : Analyse et Approximation des EDP, USTHB, Faculté des Mathématiques — Durée 2h00.

التمرين 1

Exercice 1 — C₀-semi-groupe renormalisé et générateur

#semigroups#banach-space#generator#rescaling

Soit $E$ un espace de Banach et $\{S(t)\}_{t\geq0}$ un $C_0$ -semi-groupe sur $E$ de générateur infinitésimal $A$ , pour lequel il existe $\omega\in\mathbb{R}$ et $M\geq1$ tels que

\|S(t)\|\leq Me^{\omega t}, \qquad \forall\, t\geq0.

On pose

T(t)=e^{-\omega t}S(t), \qquad \forall\, t\geq0.

Montrer que $\{T(t)\}_{t\geq0}$ est un $C_0$ -semi-groupe sur $E$ .
Déterminer le générateur infinitésimal de $\{T(t)\}_{t\geq0}$ ainsi que son domaine de définition.
En déduire que, pour tout $t\geq0$ ,

(A-\omega I)\int_0^t e^{-\omega s}S(s)x\,ds = e^{-\omega t}S(t)x-x, \qquad \forall\,x\in E.

◀الحل

1.

$T(0) = S(0) = I$ . $T(t)T(s) = e^{-\omega t}S(t) e^{-\omega s}S(s) = e^{-\omega(t+s)}S(t+s) = T(t+s)$ . $\|T(t)\| \leq e^{-\omega t} Me^{\omega t} = M$ . Continuité forte : $\|T(t)x - x\| \leq \|e^{-\omega t}S(t)x - S(t)x\| + \|S(t)x - x\| \to 0$ .

2.

Le générateur est $B = \lim_{t \to 0} \frac{T(t)x - x}{t} = \lim \frac{e^{-\omega t}S(t)x - x}{t} = Ax - \omega x = (A-\omega I)x$ . Domaine $D(B) = D(A)$ .

3.

Propriété classique des semi-groupes : $B\int_0^t T(s)x \, ds = T(t)x - x$ pour $x \in E$ . En remplaçant $B = A - \omega I$ et $T(s) = e^{-\omega s}S(s)$ :

\boxed{(A-\omega I)\int_0^t e^{-\omega s}S(s)x \, ds = e^{-\omega t}S(t)x - x}

التمرين 2

Exercice 2 — Convergence faible dans Lp et distributions, delta de Dirac

#distributions#weak-convergence#lp-spaces#dirac-delta

Exercice.

Montrer que la convergence faible dans $L^p(\mathbb{R})$ , avec $1\leq p<+\infty$ , implique la convergence dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ .
Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite de fonctions définie sur $\mathbb{R}$ par

f_n(x)=\frac{n}{2}\,\mathbf{1}_{[-1/n,\,1/n]}(x), \qquad \forall x\in\mathbb{R}.

a. Montrer que $f_n\in L^p(\mathbb{R})$ pour tout $1\leq p<+\infty$ .

b. Calculer

\lim_{n\to+\infty}f_n

dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ .

c. La suite $(f_n)$ converge-t-elle dans $L^p(\mathbb{R})$ ?

Soit $(g_n)$ une suite bornée dans $L^p(\mathbb{R})$ , avec $1<p<+\infty$ , qui converge dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ vers une distribution $T$ .

Pour tout $h\in(L^p)'=L^q$ , on définit

u_n=\int_{\mathbb{R}} h(x)\,g_n(x)\,dx.

a. Montrer que la suite $(u_n)$ est de Cauchy.

b. Montrer que l'application

L:L^q(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad h\longmapsto u_h,

appartient à $(L^q)'$ .

En déduire que $(g_n)$ converge faiblement dans $L^p(\mathbb{R})$ vers une fonction $g$ .

◀الحل

1.

Si $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p$ , alors pour toute $\varphi \in \mathcal{D}$ (qui est dans $L^q$ ) : $\langle f_n, \varphi \rangle = \int f_n \varphi \to \int f\varphi = \langle f, \varphi \rangle$ . Donc $f_n \to f$ dans $\mathcal{D}'$ .

2.a.

$\|f_n\|_p^p = (n/2)^p \cdot 2/n = (n/2)^p \cdot 2/n \lt \infty$ . Donc $f_n \in L^p$ .

2.b.

$\langle f_n, \varphi \rangle = \frac{n}{2}\int_{-1/n}^{1/n} \varphi(x)dx \to \varphi(0)$ par le théorème de la moyenne.

\boxed{f_n \to \delta \text{ dans } \mathcal{D}'(\mathbb{R})}

2.c.

$\|f_n\|_p = (n/2)(2/n)^{1/p} = \frac{n^{1-1/p}}{2^{1-1/p}} \to \infty$ pour $p \gt 1$ . Donc $(f_n)$ ne converge pas dans $L^p$ .

3.

Par densité de $\mathcal{D}$ dans $L^q$ et la convergence dans $\mathcal{D}'$ , on montre que $(u_n)$ est de Cauchy. La limite $L(h) = \lim u_n$ est linéaire continue sur $L^q$ , donc par réflexivité de $L^p$ , elle est représentée par un $g \in L^p$ . Ainsi $g_n \rightharpoonup g$ dans $L^p$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Suite bornée dans Lp et convergence faible

#weak-convergence#lp-spaces#distributions#duality

Soit $(g_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite bornée dans $L^p(\mathbb{R})$ , avec $1<p<+\infty$ , qui converge dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ vers une distribution $T$ .

Pour tout $h\in(L^p(\mathbb{R}))'=L^q(\mathbb{R})$ , où

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,

on définit la suite $(u_n)_n$ par

u_n=\int_{\mathbb{R}} h(x)\,g_n(x)\,dx, \qquad \forall n\in\mathbb{N}^*.

a. En utilisant un résultat de densité, montrer que $(u_n)_n$ est une suite de Cauchy.

b. Soit $u_h$ la limite de $(u_n)_n$ . On définit l'application

L:L^q(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad h\longmapsto u_h.

Montrer que

L\in\left(L^q(\mathbb{R})\right)'.

En déduire que la suite $(g_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge faiblement dans $L^p(\mathbb{R})$ vers une fonction $g$ .

◀الحل

(This exercise is the continuation of Exercise 2, part 3 above. See solution in Exercise 2, part 3.)