مسابقة دكتوراه 2019 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

On considère l'équation différentielle

$$y'''+4y''=-5xy'-2y-3\sin x.$$

1. Écrire cette équation sous forme normale.
2. Dire si elle est linéaire ou non et donner son ordre en justifiant.

Trouver la solution de l'équation différentielle

$$y'=y$$

sous forme d'une série entière, en posant

$$y(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n.$$

A. Soit l'équation différentielle

$$\frac{dy}{dx}-p(x)y=q(x)+s(x)y^2,$$

où $p,q,s$ sont continues sur un intervalle $I\subset\mathbb{R}$.

1. Déterminer le type de cette équation et justifier.
2. Par le changement $y=y_p+u$, où $y_p$ est une solution particulière, montrer que $u$ vérifie

$$u'-p(x)u=2s(x)y_pu+s(x)u^2.$$

3. Déterminer le type de cette nouvelle équation.
4. Résoudre l'équation en précisant le meilleur intervalle de définition possible.

B. On considère le problème de Cauchy

$$\begin{cases} y'=-\dfrac4{x^2}-\dfrac1x y+y^2,\\ y(1)=1. \end{cases}$$

1. Donner l'intervalle maximal sur lequel l'équation peut être étudiée.
2. Justifier l'existence et l'unicité de la solution.
3. Trouver $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $y_p=\frac\alpha x$ soit une solution particulière.
4. Résoudre le problème et déterminer si la solution est maximale ou globale.