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مسابقة دكتوراه 2021 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours d'entrée en Doctorat 3ème cycle — Épreuve Générale : Mathématiques Générales — 27/03/2021

التمرين 1

Intégrales Jₙ=∫ dx/(1+x³)ⁿ : récurrence et convergence

#intégrales généralisées#intégration par parties#suites#monotonie

Pour tout entier nn de N∗\mathbb{N}^*, on pose Jn=∫0+∞dx(1+x3)n\mathbb{J}_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^3)^n}.

1. Montrer que Jn\mathbb{J}_n existe et vérifier que, pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, Jn>0\mathbb{J}_n>0.

2. Établir une relation de récurrence entre Jn\mathbb{J}_n et Jn+1\mathbb{J}_{n+1}.

3. Étudier la monotonie de la suite (Jn)n∈N(\mathbb{J}_n)_{n\in\mathbb{N}} et en déduire qu'elle est convergente.

◀الحل

1. Existence et positivité

La fonction x↦1(1+x3)nx\mapsto\dfrac{1}{(1+x^3)^n} est continue et strictement positive sur [0,+∞[[0,+\infty[, et 1(1+x3)n∼x→+∞1x3n,3n≥3>1,\frac{1}{(1+x^3)^n}\underset{x\to+\infty}{\sim}\frac{1}{x^{3n}},\qquad 3n\ge3>1, donc l'intégrale converge par comparaison avec une intégrale de Riemann : Jn\mathbb{J}_n existe. L'intégrande étant strictement positive, Jn>0\mathbb{J}_n>0.

2. Relation de récurrence

En écrivant 1=(1+x3)−x31=(1+x^3)-x^3 : Jn+1=∫0+∞(1+x3)−x3(1+x3)n+1 dx=Jn−∫0+∞x3(1+x3)n+1 dx.\mathbb{J}_{n+1}=\int_0^{+\infty}\frac{(1+x^3)-x^3}{(1+x^3)^{n+1}}\,dx=\mathbb{J}_n-\int_0^{+\infty}\frac{x^3}{(1+x^3)^{n+1}}\,dx. Intégrons par parties la dernière intégrale avec u=xu=x et v′=x2(1+x3)n+1v'=\dfrac{x^2}{(1+x^3)^{n+1}}, donc v=−13n(1+x3)nv=-\dfrac{1}{3n(1+x^3)^n} : ∫0+∞x3(1+x3)n+1 dx=[−x3n(1+x3)n]0+∞+13n∫0+∞dx(1+x3)n=Jn3n,\int_0^{+\infty}\frac{x^3}{(1+x^3)^{n+1}}\,dx=\Big[-\frac{x}{3n(1+x^3)^n}\Big]_0^{+\infty}+\frac{1}{3n}\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^3)^n}=\frac{\mathbb{J}_n}{3n}, le crochet étant nul en 00 et en +∞+\infty. D'où   Jn+1=(1−13n)Jn=3n−13n Jn  \boxed{\;\mathbb{J}_{n+1}=\Big(1-\frac{1}{3n}\Big)\mathbb{J}_n=\frac{3n-1}{3n}\,\mathbb{J}_n\;}

3. Monotonie et convergence

Sur [0,+∞[[0,+\infty[, (1+x3)n+1≥(1+x3)n(1+x^3)^{n+1}\ge(1+x^3)^n, donc Jn+1≤Jn\mathbb{J}_{n+1}\le\mathbb{J}_n (on le voit aussi sur la récurrence : 3n−13n<1\frac{3n-1}{3n}<1 et Jn>0\mathbb{J}_n>0). La suite (Jn)(\mathbb{J}_n) est décroissante et minorée par 00, donc convergente.

التمرين 2

Loi binomiale B(10, 1/4) : espérance, variance et P(X≥8)

#probabilités#loi binomiale#espérance#variance

On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions. Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. On appelle XX la variable désignant le nombre de réponses exactes données par ce candidat à l'issue du questionnaire.

1. Quelle est la loi de probabilité de XX ? Calculer son espérance et sa variance.

2. Calculer la probabilité pour qu'il fournisse au moins 88 bonnes réponses.

◀الحل

1. Loi de XX

Les 1010 réponses sont des épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune avec probabilité de succès p=14p=\dfrac14 (une bonne réponse sur quatre choix). Donc X∼B(10, 14),P(X=k)=(10k)(14)k(34)10−k,k=0,…,10.X\sim\mathcal{B}\Big(10,\ \frac14\Big),\qquad P(X=k)=\binom{10}{k}\Big(\frac14\Big)^{k}\Big(\frac34\Big)^{10-k},\quad k=0,\dots,10.

E(X)=np=104=2,5,V(X)=np(1−p)=10⋅14⋅34=158=1,875.E(X)=np=\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad V(X)=np(1-p)=10\cdot\frac14\cdot\frac34=\frac{15}{8}=1{,}875.

2. Probabilité d'au moins 8 bonnes réponses

P(X≥8)=∑k=810(10k)(14)k(34)10−k=(108)32+(109)3+(1010)410=405+30+11 048 576,P(X\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}\Big(\frac14\Big)^{k}\Big(\frac34\Big)^{10-k}=\frac{\binom{10}{8}3^2+\binom{10}{9}3+\binom{10}{10}}{4^{10}}=\frac{405+30+1}{1\,048\,576},

P(X≥8)=4361 048 576≈4,16×10−4.\boxed{P(X\ge8)=\frac{436}{1\,048\,576}\approx4{,}16\times10^{-4}}.

Il est donc pratiquement impossible d'être sélectionné en répondant au hasard.

التمرين 3

Opérateur de multiplication sur ℓ² : norme, inversibilité et image

#analyse fonctionnelle#espace ℓ²#opérateurs bornés#norme d'opérateur

Soit l'espace E\mathbb{E} défini par E=ℓ2={x=(xn)n∈N∗ : ∑n=1+∞∣xn∣2<+∞},\mathbb{E}=\ell^2=\Big\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\ :\ \sum_{n=1}^{+\infty}|x_n|^2<+\infty\Big\}, et muni de la norme ∥(xn)∥ℓ2=(∑n=1+∞∣xn∣2)12.\|(x_n)\|_{\ell^2}=\Big(\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n|^2\Big)^{\frac12}. Soit (λn)n≥1(\lambda_n)_{n\ge1} une suite bornée dans C\mathbb{C} et M=sup⁡n∣λn∣M=\sup_n|\lambda_n|. Soit T:ℓ2→ℓ2T:\ell^2\to\ell^2 définie par : Tx=yTx=y, avec y=(λnxn)n≥1y=(\lambda_n x_n)_{n\ge1} si x=(xn)n≥1∈Ex=(x_n)_{n\ge1}\in\mathbb{E}.

1. Montrer que TT est linéaire, continue et calculer sa norme.

2. Montrer que si l'ensemble {∣λn∣, n≥1}\{|\lambda_n|,\ n\ge1\} est minoré par un nombre strictement positif, alors TT est bijective. Préciser dans ce cas T−1T^{-1} et déterminer sa norme.

3. On suppose que l'un des λn\lambda_n est nul. Montrer que TT n'est ni injective ni surjective et que Im T‾≠E\overline{\mathrm{Im}\,T}\neq\mathbb{E}.

◀الحل

1. Linéarité, continuité et norme

La linéarité est immédiate coordonnée par coordonnée. Pour x∈ℓ2x\in\ell^2 : ∥Tx∥2=∑n≥1∣λn∣2∣xn∣2≤M2∑n≥1∣xn∣2=M2∥x∥2,\|Tx\|^2=\sum_{n\ge1}|\lambda_n|^2|x_n|^2\le M^2\sum_{n\ge1}|x_n|^2=M^2\|x\|^2, donc Tx∈ℓ2Tx\in\ell^2 et TT est continue avec ∥T∥≤M\|T\|\le M.

Réciproquement, pour le kk-ième vecteur eke_k de la base canonique (∥ek∥=1\|e_k\|=1) : ∥Tek∥=∣λk∣\|Te_k\|=|\lambda_k|, donc ∥T∥≥∣λk∣\|T\|\ge|\lambda_k| pour tout kk, d'où ∥T∥≥M\|T\|\ge M. Conclusion : ∥T∥=M=sup⁡n∣λn∣.\boxed{\|T\|=M=\sup_n|\lambda_n|}.

2. Cas où m=inf⁡n∣λn∣>0m=\inf_n|\lambda_n|>0

Injectivité. Tx=0⇒λnxn=0Tx=0\Rightarrow\lambda_nx_n=0 pour tout nn, et comme λn≠0\lambda_n\neq0, xn=0x_n=0 : ker⁡T={0}\ker T=\{0\}.

Surjectivité. Soit y∈ℓ2y\in\ell^2 ; posons xn=ynλnx_n=\dfrac{y_n}{\lambda_n}. Alors ∑n≥1∣xn∣2≤1m2∑n≥1∣yn∣2<+∞,\sum_{n\ge1}|x_n|^2\le\frac{1}{m^2}\sum_{n\ge1}|y_n|^2<+\infty, donc x∈ℓ2x\in\ell^2 et Tx=yTx=y.

TT est donc bijective, et T−1T^{-1} est l'opérateur de multiplication par la suite (1λn)\big(\tfrac1{\lambda_n}\big) : T−1y=(ynλn)n≥1,∥T−1∥=sup⁡n1∣λn∣=1inf⁡n∣λn∣=1m,T^{-1}y=\Big(\frac{y_n}{\lambda_n}\Big)_{n\ge1},\qquad \|T^{-1}\|=\sup_n\frac{1}{|\lambda_n|}=\frac{1}{\inf_n|\lambda_n|}=\frac1m, en appliquant la question 1 à la suite bornée (1λn)\big(\tfrac1{\lambda_n}\big).

3. Cas où λn0=0\lambda_{n_0}=0

TT n'est pas injective : Ten0=λn0en0=0Te_{n_0}=\lambda_{n_0}e_{n_0}=0 avec en0≠0e_{n_0}\neq0, donc ker⁡T≠{0}\ker T\neq\{0\}.

TT n'est pas surjective : pour tout xx, la coordonnée n0n_0 de TxTx vaut λn0xn0=0\lambda_{n_0}x_{n_0}=0 ; donc en0∉Im Te_{n_0}\notin\mathrm{Im}\,T.

Adhérence de l'image : Im T⊂H={y∈ℓ2: yn0=0}\mathrm{Im}\,T\subset H=\{y\in\ell^2:\ y_{n_0}=0\}, noyau de la forme linéaire continue y↦yn0y\mapsto y_{n_0}, donc HH est un sous-espace fermé strict de E\mathbb{E}. Ainsi Im T‾⊂H≠E\overline{\mathrm{Im}\,T}\subset H\neq\mathbb{E} ; en particulier ∥en0−y∥≥1\|e_{n_0}-y\|\ge1 pour tout y∈Im Ty\in\mathrm{Im}\,T, donc Im T‾≠E\boxed{\overline{\mathrm{Im}\,T}\neq\mathbb{E}}.