مسابقة دكتوراه 2021 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

Concours d'entrée en Doctorat 3ème cycle — Épreuve Générale : Mathématiques Générales, Université de Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques — Date 27/03/2021 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale Jₙ : existence, récurrence et convergence

#integration#sequences#convergence#recurrence

Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^*$ , on pose

J_n = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1 + x^3)^n}.

(2 pts) Montrer que $J_n$ existe et vérifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $J_n \gt 0$ .
(2 pts) Établir une relation de récurrence entre $J_n$ et $J_{n+1}$ .
(2 pts) Étudier la monotonie de la suite $(J_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et en déduire qu'elle est convergente.

◀الحل

1.

Pour $x \geq 0$ : $(1+x^3)^n \geq x^{3n}$ , donc $\frac{1}{(1+x^3)^n} \leq \frac{1}{x^{3n}}$ pour $x \geq 1$ . Comme $3n \geq 3 \gt 1$ , l'intégrale converge. Positivité évidente car l'intégrande est positive.

2.

IPP avec $u = \frac{1}{(1+x^3)^n}$ , $dv = dx$ : $J_n = \left[\frac{x}{(1+x^3)^n}\right]_0^\infty + 3n \int_0^\infty \frac{x^3}{(1+x^3)^{n+1}} dx$ .

Le crochet vaut 0. Et $\frac{x^3}{(1+x^3)^{n+1}} = \frac{1+x^3-1}{(1+x^3)^{n+1}} = \frac{1}{(1+x^3)^n} - \frac{1}{(1+x^3)^{n+1}}$ .

Donc $J_n = 3n(J_n - J_{n+1})$ , soit

\boxed{J_{n+1} = \frac{3n-1}{3n} J_n}

3.

$J_{n+1}/J_n = (3n-1)/(3n) \lt 1$ pour tout $n \geq 1$ . Donc $(J_n)$ est strictement décroissante. Minorée par 0, elle converge. La limite est $\lim J_n = 0$ (car $J_n \leq J_1 \prod (3k-1)/(3k) \to 0$ ).

التمرين 2

Exercice 2 — Loi binomiale et jeu télévisé

#probability#binomial-distribution#expectation#variance

On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions. Ils devront choisir, pour chacune, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. On appelle $X$ la variable désignant le nombre de réponses exactes.

(2 pts) Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Calculer son espérance et sa variance.
(4 pts) Calculer la probabilité pour qu'il fournisse au moins 8 bonnes réponses.

◀الحل

1.

$X \sim \mathcal{B}(10, 1/4)$ (binomiale). $\mathbb{E}(X) = 10 \cdot 1/4 = 2{,}5$ . $\text{Var}(X) = 10 \cdot 1/4 \cdot 3/4 = 15/8 = 1{,}875$ .

2.

$P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ .

$P(X=k) = \binom{10}{k} (1/4)^k (3/4)^{10-k}$ .

$P(X=8) = \binom{10}{8} (1/4)^8 (3/4)^2 = 45 \cdot \frac{9}{4^{10}} = \frac{405}{1048576}$ .

$P(X=9) = 10 \cdot \frac{3}{4^{10}} = \frac{30}{1048576}$ .

$P(X=10) = \frac{1}{4^{10}} = \frac{1}{1048576}$ .

\boxed{P(X \geq 8) = \frac{436}{1048576} \approx 0{,}000416}

التمرين 3

Exercice 3 — Opérateur diagonal sur ℓ² : continuité, bijectivité et norme

#l2-space#bounded-operator#operator-norm#bijectivity

Soit l'espace $E = \ell^2 = \{x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} : \sum |x_n|^2 \lt +\infty\}$ muni de la norme $\|(x_n)\|_{\ell^2} = \left(\sum |x_n|^2\right)^{1/2}$ .

$(\lambda_n)_{n \geq 1}$ une suite bornée dans $\mathbb{C}$ et $M = \sup_n |\lambda_n|$ . Soit $T : \ell^2 \to \ell^2$ défini par $Tx = y$ avec $y = (\lambda_n x_n)_{n \geq 1}$ si $x = (x_n)_{n \geq 1} \in E$ .

(3 pts) Montrer que $T$ est linéaire, continu et calculer sa norme.
(2,5 pts) Montrer que si l'ensemble $\{|\lambda_n|, n \geq 1\}$ est minoré par un nombre strictement positif, alors $T$ est bijective. Préciser $T^{-1}$ et déterminer sa norme.
(2,5 pts) On suppose que l'un des $\lambda_n$ est nul. Montrer que $T$ n'est ni injective ni surjective et que $\overline{\text{Im}(T)} \neq E$ .

◀الحل

1.

Linéarité évidente. $\|Tx\|^2 = \sum |\lambda_n|^2 |x_n|^2 \leq M^2 \sum |x_n|^2 = M^2 \|x\|^2$ . Donc $\|T\| \leq M$ .

Pour $e_k$ le vecteur de base : $\|Te_k\| = |\lambda_k|$ . Comme $\sup |\lambda_k| = M$ , on a $\|T\| = M$ .

\boxed{\|T\| = M = \sup_n |\lambda_n|}

2.

Soit $m = \inf |\lambda_n| \gt 0$ . $T^{-1}y = (y_n/\lambda_n)_n$ . $\|T^{-1}y\|^2 = \sum |y_n/\lambda_n|^2 \leq \frac{1}{m^2}\|y\|^2$ . Donc $T^{-1}$ est borné et $\|T^{-1}\| = 1/m$ .

3.

Si $\lambda_k = 0$ : $Te_k = 0$ mais $e_k \neq 0$ , donc $T$ n'est pas injective. L'image de $T$ ne contient pas $e_k$ (car $Tx$ a sa $k$ -ième composante nulle), donc $T$ n'est pas surjective et $\overline{\text{Im}(T)} \subset \{x : x_k = 0\} \neq E$ .