مسابقة دكتوراه 2021 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 2سا

Concours d'entrée en Doctorat Troisième Cycle LMD Mathématiques — Spécialité Equations aux Dérivées Partielles et Applications — Matière Distributions et Opérateurs Pseudo-différentiels, Université Djillali Liabès - Sidi Bel Abbès, Département de Mathématiques — 27/03/2021 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Symbole pseudo-différentiel et opérateur associé

#pseudo-differential-operators#symbol-class#distributions

Soit $p(x,\xi) = \sum_{|\alpha|\leq m} a_\alpha(x)\xi^\alpha + \sum_{|\alpha|\leq m} c_\alpha \xi_\alpha$ , un polynôme d'ordre $m$ en $\mathbb{R}^n$ et telles que $a_\alpha \in C_b^\infty(\mathbb{R}^n)$ et $c_\alpha \in \mathbb{R}$ .

Montrer que $p \in S^m$ .
Déterminer l'opérateur pseudo-différentiel $p(x,D)$ associé à $p(x,\xi)$ .
Montrer que $p(x,D) : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ , $f \mapsto p(x,D)f$ est linéaire bornée.

◀الحل

1.

Il faut vérifier que pour tous multi-indices $\alpha, \beta$ : $|\partial_x^\beta \partial_\xi^\alpha p(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}$ . Comme $p$ est polynomial en $\xi$ de degré $m$ avec coefficients bornés en $x$ , c'est immédiat.

2.

$p(x,D)f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int e^{ix\cdot\xi} p(x,\xi) \hat{f}(\xi) d\xi = \sum a_\alpha(x) D^\alpha f(x) + \sum c_\alpha D^\alpha f(x)$ .

3.

Pour $f \in \mathcal{S}$ : chaque $D^\alpha f \in \mathcal{S}$ et la multiplication par $a_\alpha \in C_b^\infty$ préserve $\mathcal{S}$ . La somme finie de tels termes reste dans $\mathcal{S}$ . La bornitude suit des estimations semi-normes.

التمرين 2

Exercice 2 — Distributions et formules de Sokhotski-Plemelj

#distributions#principal-value#dirac-delta#fourier-transform

Soit $f_\varepsilon(x) = \frac{1}{x + i\varepsilon}$ .

Montrer que $f_\varepsilon$ définit une distribution sur $\mathbb{R}$ et que l'on a dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ :

(i) \quad \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{x+i\varepsilon} = Vp\frac{1}{x} - i\pi\delta = \frac{1}{x+i0}

(ii) \quad \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{x-i\varepsilon} = Vp\frac{1}{x} + i\pi\delta = \frac{1}{x-i0}

En déduire les limites de $\frac{x}{x^2+\varepsilon^2}$ et $\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}$ .

◀الحل

1.

$\frac{1}{x+i\varepsilon} = \frac{x-i\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} = \frac{x}{x^2+\varepsilon^2} - i\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}$ .

On montre que $\frac{x}{x^2+\varepsilon^2} \to Vp(1/x)$ et $\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} \to \pi\delta$ dans $\mathcal{D}'$ .

\boxed{\frac{1}{x+i0} = Vp\frac{1}{x} - i\pi\delta, \quad \frac{1}{x-i0} = Vp\frac{1}{x} + i\pi\delta}

2.

Par parties réelle et imaginaire :

\boxed{\lim \frac{x}{x^2+\varepsilon^2} = Vp\frac{1}{x}, \quad \lim \frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} = \pi\delta}

التمرين 3

Exercice 3 — Fonction continue bornée, transformée de Fourier

#distributions#fourier-transform#continuity#bounded-functions

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x^3} & \text{si } x \neq 0, \\\\ -\frac{1}{3} & \text{si } x = 0. \end{cases}

Vérifier que $f$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$ .
Pour $\mu \in \mathbb{R}$ , calculer $\mathcal{F}(\delta_a)$ , $\mathcal{F}(\cos \mu x)$ , $\mathcal{F}(\sin \mu x)$ .

◀الحل

1.

Par développement de Taylor : $\cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - \ldots$ et $\sin x = x - x^3/6 + \ldots$

$\frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x^3} = \frac{1}{x^2}(1-x^2/2+\ldots) - \frac{1}{x^3}(x-x^3/6+\ldots) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2} + \ldots - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{6} - \ldots = -\frac{1}{3} + O(x^2)$ .

Donc $\lim_{x\to 0} f(x) = -1/3 = f(0)$ . Continuité OK. Pour $|x|$ grand, $|f(x)| \leq 2/x^2$ , donc $f$ est bornée.

2.

$\mathcal{F}(\delta_a)(\xi) = e^{-ia\xi}$ .

$\mathcal{F}(\cos\mu x) = \pi[\delta(\xi-\mu) + \delta(\xi+\mu)]$ .

$\mathcal{F}(\sin\mu x) = \frac{\pi}{i}[\delta(\xi-\mu) - \delta(\xi+\mu)]$ .