مسابقة دكتوراه 2021 — Université Djilali Liabès

التمرين 1

Modèle épidémique S-I à population constante et équation logistique

#epidemic-model#sis-model#logistic-equation#global-existence#positivity

Une population constante $N$ est infectée par une épidémie ; le modèle décrivant l'évolution des compartiments $S$ (sains, susceptibles) et $I$ (infectés) est $S'=-\frac{\beta}{N}SI+(d+\lambda)I,\quad t\in\mathbb{R}_+,\tag{1}$ $I'=\frac{\beta}{N}SI-(d+\lambda)I,\quad t\in\mathbb{R}_+,\tag{2}$ où $d$ est le taux de mortalité, $\lambda$ le taux de guérison et $\beta$ le taux d'infection.

Quel est le type du modèle (1)-(2) ?
En déduire le taux de naissance de la population $N$ .
Montrer que le système (1)-(2) admet une unique solution positive globale, pour toute condition initiale $N(0)\ge0$ , $I(0)\ge0$ .
Écrire l'équation différentielle (2) en fonction de $I$ et des paramètres du modèle.
Calculer $I$ , et en déduire la limite de $I(t)$ quand $t\to+\infty$ .

◀الحل

1. Type du modèle

Les individus guéris/retirés reviennent dans le compartiment des sains (terme $+(d+\lambda)I$ dans $S'$ ) : c'est un modèle SIS (susceptible-infecté-susceptible), à deux compartiments et population constante.

2. Taux de naissance

$N'=S'+I'=0$ , donc $N$ est constant : le taux de naissance équilibre exactement la mortalité, soit un taux de naissance nul net (population constante, $N(t)=N$ ).

3. Existence, unicité, positivité, globalité

Le champ de vecteurs est polynomial donc localement lipschitzien : Cauchy-Lipschitz donne une unique solution maximale. Sur les axes le champ est rentrant ( $I=0\Rightarrow I'=0$ ; $S=0\Rightarrow S'=(d+\lambda)I\ge0$ ), donc le quadrant positif est invariant. Comme $S+I=N$ est borné, la solution ne peut exploser : elle est globale sur $\mathbb{R}_+$ .

4. Équation en $I$ seul

Avec $S=N-I$ : $I'=\frac{\beta}{N}(N-I)I-(d+\lambda)I=\big(\beta-(d+\lambda)\big)I-\frac{\beta}{N}I^2.$ C'est une équation logistique $I'=rI\Big(1-\dfrac{I}{K}\Big)$ avec $r=\beta-(d+\lambda),\qquad K=\frac{N\big(\beta-(d+\lambda)\big)}{\beta}=N\Big(1-\frac{d+\lambda}{\beta}\Big).$

5. Résolution et limite

Pour $I(0)=I_0>0$ et $r\neq0$ : $\boxed{I(t)=\frac{K}{1+\Big(\dfrac{K-I_0}{I_0}\Big)e^{-rt}}.}$ Limite quand $t\to+\infty$ , avec $\mathcal{R}_0=\dfrac{\beta}{d+\lambda}$ :