مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djilali Liabès

التمرين 1

Exercice 1 — Espace préhilbertien : boule unité et convergence faible

#préhilbertien#produit scalaire#convergence#analyse fonctionnelle

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien.

Soient $(x_n)_{n\ge 0}$ et $(y_n)_{n\ge 0}$ deux suites dans $B_E = \{x\in E; \|x\|\le 1\}$ telles que $\lim_{n\to+\infty}\langle x_n, y_n\rangle = 1.$ Montrer que l'on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\|x_n - y_n\| = 0$ .
Soient $z\in E$ et $(z_n)_{n\ge 0}$ une suite dans $E$ telle que $\lim_{n\to+\infty}\langle z_n, z\rangle = \langle z,z\rangle \ \text{ et }\ \lim_{n\to+\infty}\|z_n\| = \|z\|.$ Montrer que l'on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} z_n = z$ .

C'est le critère classique : dans un préhilbertien, $z_n\to z$ (fortement) équivaut à la convergence faible ( $\langle z_n,y\rangle\to\langle z,y\rangle$ pour tout $y$ ) combinée à $\|z_n\|\to\|z\|$ . Le calcul de $\|z_n-z\|^2$ via l'identité du produit scalaire est l'outil universel.

◀الحل

On calcule : $\|x_n-y_n\|^2 = \|x_n\|^2 + \|y_n\|^2 - 2\langle x_n,y_n\rangle \le 1 + 1 - 2\langle x_n,y_n\rangle \to 2 - 2\cdot 1 = 0$ . Comme la norme est positive, $\|x_n-y_n\|\to 0$ .
$\|z_n-z\|^2 = \|z_n\|^2 - 2\langle z_n,z\rangle + \|z\|^2 \to \|z\|^2 - 2\|z\|^2 + \|z\|^2 = 0$ , donc $z_n\to z$ pour la norme.

التمرين 2

Exercice 2 — Séries de fonctions $\sum e^{-nx}/(n+x)^2$

#séries de fonctions#convergence normale#continuité#dérivabilité

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $f_n : I\to\mathbb{R}$ une suite de fonctions. On pose $a_n = \sup_{x\in I}|f_n(x)|$ .

Démontrer : $\big(\sum f_n\big)$ converge normalement $\iff \big(\sum a_n\big)$ converge.
On pose $I = \mathbb{R}$ et $f_n(x) = \dfrac{e^{-nx}}{(n+x)^2}$ , $n\ge 1$ .

(a) Déterminer le domaine de convergence $\Delta$ de la série de fonctions $\big(\sum f_n\big)$ .

(b) En déduire le domaine de la convergence uniforme.

(c) On pose $S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^{-nx}}{(n+x)^2}$ .

i. Montrer que $S$ est continue dans $[0,+\infty[$ .

ii. Montrer que $S$ est dérivable dans $[a,+\infty[$ , $a>0$ .

iii. $S$ est-elle dérivable en $x=0$ ?

Méthode standard : convergence normale sur tout compact $[a,+\infty[$ ( $a>0$ ) suffit pour la régularité intérieure, mais la dérivabilité au bord ( $x=0$ ) demande une vérification directe car la série des dérivées peut diverger même quand la série originale converge.

◀الحل

Par définition, convergence normale signifie $\sum \|f_n\|_\infty < \infty$ où $\|f_n\|_\infty=\sup_I|f_n|=a_n$ . Donc l'équivalence est tautologique.
(a) Pour $x\ge 0$ : $|f_n(x)|\le 1/(n+x)^2\le 1/n^2$ , donc convergence sur $[0,+\infty[$ . Pour $x<0$ : $e^{-nx}\to+\infty$ exponentiellement, terme général diverge. Donc $\Delta=[0,+\infty[$ .

(b) Sur $[0,+\infty[$ , $\sup |f_n| = f_n(0)= 1/n^2$ (car $f_n$ décroît en $x\ge 0$ ), et $\sum 1/n^2<\infty$ : convergence normale (donc uniforme) sur tout $[0,+\infty[$ .

(c) i. Chaque $f_n$ est continue sur $[0,+\infty[$ et convergence uniforme sur cet intervalle $\Rightarrow S$ continue sur $[0,+\infty[$ .

ii. $f_n'(x) = -\dfrac{ne^{-nx}}{(n+x)^2} - \dfrac{2e^{-nx}}{(n+x)^3}$ . Sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ : $|f_n'(x)|\le \dfrac{n e^{-na}}{n^2}+\dfrac{2e^{-na}}{n^3}=O(e^{-na})$ , série convergente. Convergence normale de $\sum f_n'$ sur $[a,+\infty[$ , donc $S$ dérivable sur $[a,+\infty[$ et $S'(x)=\sum f_n'(x)$ .

iii. En $x=0$ : $f_n'(0) = -n/n^2 - 2/n^3 = -1/n - 2/n^3$ . La série $\sum f_n'(0)$ diverge (série harmonique). Donc $\sum f_n'$ diverge en 0 ; on ne peut pas déduire la dérivabilité en 0 par ce théorème. En fait, un calcul direct montre que $S$ n'est pas dérivable en 0 (le taux $[S(h)-S(0)]/h$ diverge, car $\sum(e^{-nh}-1)/(hn^2) \to -\sum 1/n = -\infty$ ).

التمرين 3

Exercice 3 — Logarithme matriciel : trouver $B$ tel que $\exp(B)=A$

#matrices#exponentielle de matrice#diagonalisation#spectre

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$ suivant la base canonique $(\vec{e}_1^*,\vec{e}_2^*,\vec{e}_3^*)$ de $\mathbb{R}^3$ . En admettant qu'il existe une matrice $B\in M_3(\mathbb{R})$ telle que $\exp B = A$ :

Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$ (sans calculer).
Montrer que $AB = BA$ .
En déduire que $(\vec{e}_1^*,\vec{e}_2^*,\vec{e}_3^*)$ est une base de vecteurs propres de $B$ .
Déterminer $B$ .

Résultat général : pour toute matrice diagonalisable à valeurs propres $>0$ , il existe un logarithme réel. Il suffit de diagonaliser $A=PDP^{-1}$ et de poser $B=P(\ln D)P^{-1}$ . L'unicité n'est pas garantie (les logarithmes complexes multiples permettent d'autres solutions réelles ou complexes).

◀الحل

$A$ est diagonale : valeurs propres $3, 5, 2$ avec vecteurs propres respectifs $\vec e_1^*,\vec e_2^*,\vec e_3^*$ (base canonique).
$A = \exp B = \sum_{k\ge 0} B^k/k!$ est un polynôme en $B$ , donc commute avec $B$ : $AB = BA$ .
Soit $v$ vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ : $Av=\lambda v$ . Comme $AB=BA$ : $A(Bv) = B(Av) = \lambda Bv$ , donc $Bv$ appartient au sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda$ . Comme $A$ a trois valeurs propres distinctes (donc trois sous-espaces propres de dimension 1), on a $Bv = \mu v$ pour un certain $\mu\in\mathbb{R}$ . Donc $\vec e_1^*,\vec e_2^*,\vec e_3^*$ sont vecteurs propres de $B$ .
Si $B\vec e_i^* = \mu_i \vec e_i^*$ , alors $\exp(B)\vec e_i^* = e^{\mu_i}\vec e_i^*$ ; or $A\vec e_i^* = \lambda_i\vec e_i^*$ avec $\lambda_1=3,\lambda_2=5,\lambda_3=2$ . Donc $e^{\mu_i}=\lambda_i$ , soit $\mu_i=\ln\lambda_i$ . Ainsi $B = \begin{pmatrix}\ln 3 & 0 & 0\\ 0 & \ln 5 & 0\\ 0 & 0 & \ln 2\end{pmatrix}.$