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مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours d'accès à la formation doctorale du troisième cycle — Filière Mathématiques appliquées — Épreuve commune, Université Djillali Liabès - Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes — Date 24 Février 2022 — Barème : exercice 1 (7pts), exercice 2 (6pts), exercice 3 (7pts).

التمرين 1

Exercice 1 — Matrice vérifiant A² = -Iₙ : existence et étude en dimension 4

#linear-algebra#endomorphism#matrix#eigenvalues#change-of-basis

Soit EE un espace vectoriel de dimension nn. On cherche à déterminer une matrice A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que A2=−InA^2 = -I_n, où InI_n désigne la matrice identité d'ordre nn. On notera ff l'endomorphisme de EE de matrice AA dans la base canonique.

  1. (1 pt) Montrer que l'existence d'une telle matrice implique la parité de nn.
  2. On suppose maintenant que n=4n = 4. a. (1,5 pts) Montrer que pour tout vecteur x∈Ex \in E, x≠0x \neq 0, les vecteurs xx et f(x)f(x) sont linéairement indépendants. b. (3 pts) Soit x1≠0x_1 \neq 0, on note FF le sous-espace vectoriel de EE engendré par x1x_1 et f(x1)f(x_1). i. Montrer que FF est stable par ff. ii. Soit x2∈E∖Fx_2 \in E \setminus F, montrer que B=(x1,f(x1),x2,f(x2))\mathcal{B} = (x_1, f(x_1), x_2, f(x_2)) est une base de EE. c. (1,5 pts) Écrire la matrice AA dans la base B\mathcal{B}.
◀الحل

1.

det⁡(A2)=det⁡(−In)=(−1)n\det(A^2) = \det(-I_n) = (-1)^n. Or det⁡(A2)=(det⁡A)2≥0\det(A^2) = (\det A)^2 \geq 0. Donc (−1)n≥0(-1)^n \geq 0, ce qui impose nn pair.

n est neˊcessairement pair\boxed{n \text{ est nécessairement pair}}

2.a.

Si xx et f(x)f(x) sont liés : f(x)=λxf(x) = \lambda x. Alors f2(x)=λ2x=−xf^2(x) = \lambda^2 x = -x, soit λ2=−1\lambda^2 = -1, impossible dans R\mathbb{R}. Donc xx et f(x)f(x) sont indépendants.

2.b.i.

f(x1)∈Ff(x_1) \in F par définition. f(f(x1))=f2(x1)=−x1∈Ff(f(x_1)) = f^2(x_1) = -x_1 \in F. Donc FF est stable par ff.

2.b.ii.

Supposons αx1+βf(x1)+γx2+δf(x2)=0\alpha x_1 + \beta f(x_1) + \gamma x_2 + \delta f(x_2) = 0. Si γ=δ=0\gamma = \delta = 0, alors α=β=0\alpha = \beta = 0 (indépendance de x1,f(x1)x_1, f(x_1)). Si (γ,δ)≠(0,0)(\gamma, \delta) \neq (0,0), alors x2x_2 ou f(x2)∈Ff(x_2) \in F, mais x2∉Fx_2 \notin F et f(x2)∉Ff(x_2) \notin F (sinon f2(x2)=−x2∈Ff^2(x_2) = -x_2 \in F impliquerait x2∈Fx_2 \in F). Contradiction. Donc B\mathcal{B} est libre et dim⁡=4\dim = 4, c'est une base.

2.c.

Dans B\mathcal{B} : f(x1)=f(x1)f(x_1) = f(x_1), f(f(x1))=−x1f(f(x_1)) = -x_1, f(x2)=f(x2)f(x_2) = f(x_2), f(f(x2))=−x2f(f(x_2)) = -x_2.

AB=(0−1001000000−10010)\boxed{A_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}

التمرين 2

Exercice 2 — Forme différentielle, facteur intégrant et primitive

#differential-forms#exact-form#integrating-factor#analysis

Soit w(x,y)=(1−e−y)dx+(x−2)dyw(x,y) = (1 - e^{-y})dx + (x - 2)dy.

  1. (2 pts) Montrer qu'on ne peut pas trouver de fonction ff différentiable de classe C∞C^\infty telle que df(x,y)=w(x,y)df(x,y) = w(x,y).
  2. (2 pts) Déterminer une fonction gg de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} de classe C∞C^\infty, telle que w(x,y)⋅g(y)w(x,y) \cdot g(y) soit la différentielle en (x,y)(x,y) d'une fonction différentiable ff.
  3. (2 pts) Déterminer ff.
◀الحل

1.

Si w=dfw = df, alors ∂∂y(1−e−y)=∂∂x(x−2)\frac{\partial}{\partial y}(1-e^{-y}) = \frac{\partial}{\partial x}(x-2), soit e−y=1e^{-y} = 1. Ceci n'est vrai que pour y=0y=0, pas pour tout yy. Donc ww n'est pas exacte.

w n’est pas exacte\boxed{w \text{ n'est pas exacte}}

2.

On cherche g(y)g(y) tel que ∂∂y[(1−e−y)g]=∂∂x[(x−2)g]\frac{\partial}{\partial y}[(1-e^{-y})g] = \frac{\partial}{\partial x}[(x-2)g], soit (e−yg+(1−e−y)g′)=g(e^{-y}g + (1-e^{-y})g') = g, d'où (1−e−y)g′=g(1−e−y)(1-e^{-y})g' = g(1-e^{-y}), donc g′=gg' = g.

g(y)=ey\boxed{g(y) = e^y}

3.

La forme exacte est (ey−1)dx+(x−2)eydy(e^y - 1)dx + (x-2)e^y dy. On intègre : f(x,y)=(x−2)ey−x+Cf(x,y) = (x-2)e^y - x + C (vérification: ∂xf=ey−1\partial_x f = e^y - 1, ∂yf=(x−2)ey\partial_y f = (x-2)e^y). Donc

f(x,y)=(x−2)ey−x+C\boxed{f(x,y) = (x-2)e^y - x + C}

التمرين 3

Exercice 3 — Intégrales doubles et intégrale de Gauss

#double-integral#gaussian-integral#polar-coordinates#analysis

Pour r>0r \gt 0, on définit :

I=∬De−(x2+y2)dx dyetJ=∬Ce−(x2+y2)dx dyI = \iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx \, dy \quad \text{et} \quad J = \iint_C e^{-(x^2+y^2)} dx \, dy

où D={(x,y)∈R2:0≤x≤r,0≤y≤r}D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq r, 0 \leq y \leq r\} et C={(x,y)∈R2:x≥0,y≥0,x2+y2≤r2}C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq r^2\}.

  1. (3 pts) Montrer que lim⁡r→+∞(I−J)=0\lim_{r \to +\infty} (I - J) = 0.
  2. (4 pts) Calculer JJ, en déduire que ∫0+∞e−x2dx=π2\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
◀الحل

1.

C⊂DC \subset D car le quart de disque est inclus dans le carré. La différence ∣I−J∣=∬D∖Ce−(x2+y2)dxdy≤∬D∖Ce−0dxdy=Aire(D∖C)⋅e−r2/2→0|I - J| = \iint_{D \setminus C} e^{-(x^2+y^2)} dxdy \leq \iint_{D \setminus C} e^{-0} dxdy = \text{Aire}(D \setminus C) \cdot e^{-r^2/2} \to 0.

Plus précisément, D∖C⊂{x2+y2≥r2}D \setminus C \subset \{x^2+y^2 \geq r^2\} n'est pas tout à fait correct; on utilise D⊂D \subset disque de rayon r2r\sqrt{2}, donc I≤Jr2I \leq J_{r\sqrt{2}} et J≤IJ \leq I, ce qui donne 0≤I−J≤Jr2−Jr→00 \leq I - J \leq J_{r\sqrt{2}} - J_r \to 0.

lim⁡r→+∞(I−J)=0\boxed{\lim_{r \to +\infty}(I-J) = 0}

2.

En coordonnées polaires sur CC : x=ρcos⁡θx = \rho\cos\theta, y=ρsin⁡θy = \rho\sin\theta, 0≤ρ≤r0 \leq \rho \leq r, 0≤θ≤π/20 \leq \theta \leq \pi/2.

J=∫0π/2∫0re−ρ2ρ dρ dθ=π2⋅1−e−r22=π4(1−e−r2)J = \int_0^{\pi/2} \int_0^r e^{-\rho^2} \rho \, d\rho \, d\theta = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1-e^{-r^2}}{2} = \frac{\pi}{4}(1-e^{-r^2}).

Or I=(∫0re−x2dx)2I = \left(\int_0^r e^{-x^2} dx\right)^2. Quand r→∞r \to \infty : I→(∫0∞e−x2dx)2I \to \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx\right)^2 et J→π4J \to \frac{\pi}{4}. Comme I−J→0I-J \to 0 :

∫0+∞e−x2dx=π2\boxed{\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}