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مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation doctorale — Filière Mathématiques — Épreuve Générale (sujet 2), Université Djillali Liabès, Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes — Date 26/02/2022 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Espace préhilbertien : convergence forte et faible

#pre-hilbert-space#inner-product#convergence#functional-analysis

Soit (E,⟨⋅,⋅⟩)(E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien.

  1. (3 pts) Soient (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} et (yn)n≥0(y_n)_{n \geq 0} deux suites dans BE={x∈E:∥x∥≤1}B_E = \{x \in E : \|x\| \leq 1\} telles que
lim⁡n→+∞⟨xn,yn⟩=1.\lim_{n \to +\infty} \langle x_n, y_n \rangle = 1.

Montrer que l'on a :

lim⁡n→+∞∥xn−yn∥=0.\lim_{n \to +\infty} \|x_n - y_n\| = 0.
  1. (3 pts) Soient z∈Ez \in E et (zn)n≥0(z_n)_{n \geq 0} une suite dans EE telle que
lim⁡n→+∞⟨zn,z⟩=⟨z,z⟩etlim⁡n→+∞∥zn∥=∥z∥.\lim_{n \to +\infty} \langle z_n, z \rangle = \langle z, z \rangle \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \|z_n\| = \|z\|.

Montrer que lim⁡n→+∞zn=z\lim_{n \to +\infty} z_n = z.

◀الحل

1.

∥xn−yn∥2=∥xn∥2−2⟨xn,yn⟩+∥yn∥2≤1−2⟨xn,yn⟩+1=2−2⟨xn,yn⟩\|x_n - y_n\|^2 = \|x_n\|^2 - 2\langle x_n, y_n \rangle + \|y_n\|^2 \leq 1 - 2\langle x_n, y_n \rangle + 1 = 2 - 2\langle x_n, y_n \rangle.

Comme ⟨xn,yn⟩→1\langle x_n, y_n \rangle \to 1, on obtient ∥xn−yn∥2→0\|x_n - y_n\|^2 \to 0.

Par ailleurs, par Cauchy-Schwarz : ⟨xn,yn⟩≤∥xn∥∥yn∥≤1\langle x_n, y_n \rangle \leq \|x_n\| \|y_n\| \leq 1. Donc ∥xn∥,∥yn∥→1\|x_n\|, \|y_n\| \to 1 aussi.

∥xn−yn∥→0\boxed{\|x_n - y_n\| \to 0}

2.

∥zn−z∥2=∥zn∥2−2⟨zn,z⟩+∥z∥2→∥z∥2−2∥z∥2+∥z∥2=0\|z_n - z\|^2 = \|z_n\|^2 - 2\langle z_n, z \rangle + \|z\|^2 \to \|z\|^2 - 2\|z\|^2 + \|z\|^2 = 0.

zn→z\boxed{z_n \to z}

التمرين 2

Exercice 2 — Séries de fonctions : convergence et dérivabilité

#series-of-functions#normal-convergence#uniform-convergence#continuity#differentiability

Soit II un intervalle de R\mathbb{R} et soit fn:I→Rf_n : I \to \mathbb{R} une suite de fonctions. On pose an=sup⁡x∈I∣fn(x)∣a_n = \sup_{x \in I} |f_n(x)|.

  1. (2 pts) Démontrer : (∑fn)\left(\sum f_n\right) converge normalement   ⟺  \iff (∑an)\left(\sum a_n\right) converge.
  2. On pose I=RI = \mathbb{R} et fn(x)=e−nx(n+x)2f_n(x) = \frac{e^{-nx}}{(n+x)^2}, n≥1n \geq 1. a. (2 pts) Déterminer le domaine de convergence Δ\Delta de la série de fonctions (∑fn)\left(\sum f_n\right). b. (1 pt) En déduire le domaine de la convergence uniforme. c. On pose S(x)=∑n=1∞e−nx(n+x)2S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nx}}{(n+x)^2}. i. (1 pt) Montrer que SS est continue dans [0,+∞[[0, +\infty[. ii. (1 pt) Montrer que SS est dérivable dans [a,+∞[[a, +\infty[, a>0a \gt 0. iii. (1 pt) SS est-elle dérivable en x=0x = 0 ?
◀الحل

1.

Par définition, la convergence normale de ∑fn\sum f_n sur II signifie ∑sup⁡I∣fn∣=∑an<∞\sum \sup_I |f_n| = \sum a_n \lt \infty. L'équivalence est immédiate par définition.

2.a.

Pour x>0x \gt 0 : fn(x)∼e−nxn2f_n(x) \sim \frac{e^{-nx}}{n^2} et ∑e−nxn2\sum \frac{e^{-nx}}{n^2} converge (car e−nx<1e^{-nx} \lt 1). Pour x=0x = 0 : fn(0)=1n2f_n(0) = \frac{1}{n^2} et ∑1n2\sum \frac{1}{n^2} converge. Pour x<0x \lt 0 : e−nx→+∞e^{-nx} \to +\infty donc fn(x)→+∞f_n(x) \to +\infty, divergence.

Δ=[0,+∞[\boxed{\Delta = [0, +\infty[}

2.b.

Sur [a,+∞[[a, +\infty[ avec a>0a \gt 0 : ∣fn(x)∣≤e−nan2|f_n(x)| \leq \frac{e^{-na}}{n^2} et ∑e−nan2\sum \frac{e^{-na}}{n^2} converge. Convergence uniforme sur [a,+∞[[a,+\infty[ pour tout a>0a \gt 0. Sur [0,+∞[[0,+\infty[ la convergence n'est pas uniforme.

2.c.i.

Chaque fnf_n est continue sur [0,+∞[[0,+\infty[. Sur tout [0,b][0,b], par convergence uniforme (vérifiable), SS est continue.

2.c.ii.

La série dérivée ∑fn′(x)=∑(−ne−nx(n+x)2−2e−nx(n+x)3)\sum f_n'(x) = \sum \left(\frac{-ne^{-nx}}{(n+x)^2} - \frac{2e^{-nx}}{(n+x)^3}\right) converge normalement sur [a,+∞[[a,+\infty[. Donc SS est dérivable sur [a,+∞[[a,+\infty[.

2.c.iii.

fn′(0)=−nn2−2n3∼−1nf_n'(0) = \frac{-n}{n^2} - \frac{2}{n^3} \sim -\frac{1}{n} et ∑1n\sum \frac{1}{n} diverge. La série dérivée diverge en x=0x=0, donc SS n'est probablement pas dérivable en 00 (on peut le confirmer par étude directe).

التمرين 3

Exercice 3 — Matrice diagonale et exponentielle de matrice

#linear-algebra#eigenvalues#matrix-exponential#diagonalization

Soit la matrice

A=(300050002)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

suivant la base canonique (e1⃗,e2⃗,e3⃗)(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) de R3\mathbb{R}^3. En admettant qu'il existe une matrice B∈M3(R)B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) tel que exp⁡B=A\exp B = A.

  1. (1,5 pts) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de AA (sans calcul).
  2. (1,5 pts) Montrer que AB=BAAB = BA.
  3. (1,5 pts) En déduire que (e1⃗,e2⃗,e3⃗)(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) est une base de vecteurs propres de BB.
  4. (1,5 pts) Déterminer BB.
◀الحل

1.

AA est diagonale, ses valeurs propres sont 3,5,23, 5, 2 avec vecteurs propres e1⃗,e2⃗,e3⃗\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} respectivement.

2.

exp⁡B=A\exp B = A et BB commute avec tout polynôme en BB, donc BB commute avec exp⁡B=A\exp B = A.

AB=BA\boxed{AB = BA}

3.

AB=BAAB = BA implique que si Ax=λxAx = \lambda x, alors A(Bx)=B(Ax)=λ(Bx)A(Bx) = B(Ax) = \lambda(Bx). Donc BxBx est aussi vecteur propre de AA pour λ\lambda. Comme les valeurs propres de AA sont simples, les sous-espaces propres sont de dimension 1, donc Bei⃗∈Vect(ei⃗)B\vec{e_i} \in \text{Vect}(\vec{e_i}). Donc les ei⃗\vec{e_i} sont vecteurs propres de BB.

4.

BB est diagonale dans la base canonique avec ebi=aie^{b_i} = a_i, soit bi=ln⁡(ai)b_i = \ln(a_i).

B=(ln⁡3000ln⁡5000ln⁡2)\boxed{B = \begin{pmatrix} \ln 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & \ln 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & \ln 2 \end{pmatrix}}