مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 2سا

Concours d'entrée en Doctorat Troisième Cycle LMD Mathématiques — Spécialité Equations aux Dérivées Partielles — Matière : Distributions et Opérateurs Pseudo-différentiels, Université Djillali Liabès - Sidi Bel Abbès, Département de Mathématiques — 26/02/2022 — Durée 2H.

التمرين 1

Exercice 1 — Espace de Sobolev H¹(Rⁿ) et normes équivalentes

#sobolev-spaces#hilbert-space#fourier-transform#equivalent-norms

Soit $H^1(\mathbb{R}^n)$ l'espace

\{u \in S'(\mathbb{R}^n) : (1+|\xi|^2)^{1/2} \hat{u} \in L^2(\mathbb{R}^n)\}

muni du produit scalaire $(u,v)_1 = \int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2) \hat{u}(\xi) \overline{\hat{v}}(\xi) d\xi$ et de la norme $\|u\|_1^2 = (u,u)_1$ .

(2,5 pts) Montrer que $H^1(\mathbb{R}^n)$ est un espace de Hilbert.
(2,5 pts) Montrer que $H^1(\mathbb{R}^n)$ coïncide avec $E = \{u \in L^2(\mathbb{R}^n) : D^\alpha u \in L^2(\mathbb{R}^n), |\alpha| \leq 1\}$ et que la norme $\|u\|_1$ est équivalente à $|u|_1^2 = \sum_{|\alpha|\leq 1} \|D^\alpha u\|_{L^2}^2$ .

◀الحل

1.

L'application $u \mapsto (1+|\xi|^2)^{1/2}\hat{u}$ est une isométrie de $H^1$ dans $L^2(\mathbb{R}^n)$ . Comme $L^2$ est complet, $H^1$ l'est aussi. Donc $H^1$ est un espace de Hilbert.

2.

$u \in H^1 \iff (1+|\xi|^2)^{1/2}\hat{u} \in L^2 \iff \hat{u} \in L^2$ et $|\xi_j|\hat{u} \in L^2$ pour tout $j \iff u \in L^2$ et $\partial_j u \in L^2$ pour tout $j \iff u \in E$ .

L'équivalence des normes vient de $|\xi|^2 \leq 1 + |\xi|^2 \leq 2(1+|\xi|^2)$ et de l'inégalité $1 + \sum|\xi_j|^2 \leq 1 + |\xi|^2$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Distribution Pv(1/x) et équation xT = 1

#distributions#principal-value#fourier-transform#heaviside

Soit la distribution $Pv\frac{1}{x}$ définie par $\langle Pv\frac{1}{x}, \phi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x|\geq \varepsilon} \frac{\phi(x)}{x} dx$ .

(2 pts) Montrer que $Pv\frac{1}{x} \in S'(\mathbb{R})$ .
(2 pts) Montrer que $x \cdot Pv\frac{1}{x} = 1$ . En déduire les solutions $T$ de $xT = 1$ .
(2 pts) En déduire $\mathcal{F}(Pv\frac{1}{x})$ et $\mathcal{F}(H(x))$ .

◀الحل

1.

Pour $\phi \in S$ : $|\langle Pv\frac{1}{x}, \phi \rangle| = |\int_{|x|\geq 1} \frac{\phi}{x} dx + \int_{|x|\lt 1} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x}dx|$ . Le premier terme est borné par $\|\phi\|_\infty \int_1^\infty x^{-2}dx$ (après IPP), et le second par $\|\phi'\|_\infty$ . Donc $Pv(1/x) \in S'$ .

2.

$\langle x \cdot Pv\frac{1}{x}, \phi \rangle = \langle Pv\frac{1}{x}, x\phi \rangle = \lim \int_{|x|\geq\varepsilon} \phi(x) dx = \int \phi dx = \langle 1, \phi \rangle$ .

Solutions de $xT = 1$ : $T = Pv(1/x) + C\delta$ pour $C \in \mathbb{R}$ .

3.

$\mathcal{F}(\text{sgn}(x)) = 2Pv(1/(i\xi)) \cdot \frac{1}{2\pi}$ ... Par calcul standard :

\boxed{\mathcal{F}\left(Pv\frac{1}{x}\right) = -i\pi \, \text{sgn}(\xi)}

$H(x) = \frac{1}{2}(1 + \text{sgn}(x))$ , donc $\mathcal{F}(H) = \frac{1}{2}\delta + \frac{1}{2i\pi} Pv(1/\xi)$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Suite gₙ et convergence vers Pv(1/x)

#distributions#convergence#fourier-transform#sinc-function

On rappelle que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$ . On considère sur $\mathbb{R}$ la suite de fonctions :

g_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{\pi x} & \text{si } \frac{1}{n} \lt |x| \lt n, \; n \in \mathbb{N}^*, \\\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

(Suite du problème non entièrement visible)

◀الحل

La suite $g_n$ converge vers $\frac{1}{\pi}Pv(1/x)$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ . En effet, pour $\phi \in \mathcal{D}$ :

$\langle g_n, \phi \rangle = \frac{1}{\pi}\int_{1/n \lt |x| \lt n} \frac{\phi(x)}{x} dx \to \frac{1}{\pi} \langle Pv(1/x), \phi \rangle$ .

\boxed{g_n \to \frac{1}{\pi} Pv\left(\frac{1}{x}\right) \text{ dans } \mathcal{D}'(\mathbb{R})}