مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Concours d'entrée en Doctorat 3ème Cycle — Spécialité Analyse Fonctionnelle et Equations Différentielles — Épreuve de Spécialité Sujet 1, Université Djillali Liabès - Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques — Date 26/2/2022 — Filière Mathématiques — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — C₀-semi-groupe de multiplication sur L¹

#semigroups#l1-space#multiplication-operator

Soit $q : (0,+\infty) \to \mathbb{C}$ une fonction continue telle que $\omega_0 = \sup_{x \gt 0} (\text{Re} \, q(x)) \lt \infty$ . On définit sur $L^1(0,\infty)$ la famille d'opérateurs $(T_q(t))_{t \geq 0}$ par

(T_q(t)f)(x) = e^{tq(x)} f(x), \quad x \gt 0, \; t \geq 0.

(3 pts) Montrer que $(T_q(t))_{t \geq 0}$ est une famille d'opérateurs linéaires bornés.
(3 pts) Montrer que $(T_q(t))_{t \geq 0}$ est un $C_0$ -semi-groupe sur $L^1(0,\infty)$ .

◀الحل

1.

$\|T_q(t)f\|_1 = \int_0^\infty |e^{tq(x)}||f(x)| dx \leq \int e^{t\omega_0} |f(x)| dx = e^{t\omega_0} \|f\|_1$ . Donc $\|T_q(t)\| \leq e^{t\omega_0}$ .

2.

$T_q(0)f = f$ . $T_q(t)T_q(s)f(x) = e^{tq(x)}e^{sq(x)}f(x) = e^{(t+s)q(x)}f(x) = T_q(t+s)f(x)$ .

Continuité forte : $\|T_q(t)f - f\|_1 = \int |e^{tq(x)}-1||f(x)|dx \to 0$ par convergence dominée (car $|e^{tq(x)}-1||f(x)| \leq (e^{t\omega_0}+1)|f(x)| \in L^1$ ).

التمرين 2

Exercice 2 — Degré topologique et application

#topological-degree#nonlinear-analysis

Soient $\Omega = ]-1,1[ \times ]-1,1[$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$ et $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la fonction définie par

f(x,y) = (\max(|x|, |y|), 0).

Montrer que le degré de $f$ en $0$ relativement à $\Omega$ est nul : $\deg(f, 0, \Omega) = 0$ .

◀الحل

Sur $\partial\Omega$ : $\max(|x|,|y|) = 1$ , donc $f(x,y) = (1, 0) \neq (0,0)$ . Le degré est bien défini.

On considère l'homotopie $H(t,x,y) = ((1-t)\max(|x|,|y|) + t, 0)$ . Sur $\partial\Omega$ : $H(t,x,y) = (1,0) \neq 0$ pour tout $t$ . Donc $\deg(f,0,\Omega) = \deg(H(1,\cdot),0,\Omega) = \deg((1,0),0,\Omega) = 0$ car $(1,0)$ est constante et non nulle.

\boxed{\deg(f, 0, \Omega) = 0}

التمرين 3

Exercice 3 — Opérateur de dérivation, résolvante et spectre

#unbounded-operators#resolvent#spectrum#banach-space

Soient $X = C([0,1], \mathbb{R})$ muni de la convergence uniforme et $A : D(A) \subset X \to X$ l'opérateur défini par $Af = f'$ et $D(A) = \{f \in C^1([0,1]) : f(1) = 0\}$ .

(2 pts) Montrer que $A$ est fermé.
(1,5 pts) Montrer que $D(A)$ n'est pas dense dans $X$ .
(2 pts) Montrer que $\rho(A) = \mathbb{C}$ , où $\rho(A)$ désigne l'ensemble résolvant de $A$ .
(1,5 pts) En déduire que pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ avec $\text{Re}\lambda \gt 0$ on a $\|R(\lambda, A)\| \leq \frac{1}{\text{Re}\lambda}$ .

◀الحل

1.

Si $f_n \in D(A)$ , $f_n \to f$ uniformément et $f_n' \to g$ uniformément, alors $f \in C^1$ , $f' = g$ , et $f(1) = \lim f_n(1) = 0$ . Donc $f \in D(A)$ et $Af = g$ .

2.

Toute $f \in \overline{D(A)}$ vérifie $f(1) = 0$ . Mais $g \equiv 1 \in X$ avec $g(1) = 1 \neq 0$ . Donc $\overline{D(A)} \neq X$ .

3.

Pour $\lambda \in \mathbb{C}$ et $g \in X$ : $(\lambda I - A)f = g$ donne $\lambda f - f' = g$ , soit $f' - \lambda f = -g$ . Solution : $f(x) = e^{\lambda x}\int_x^1 g(s)e^{-\lambda s}ds$ (avec $f(1) = 0$ ). Cet opérateur est borné, donc $\lambda \in \rho(A)$ .

4.

$|f(x)| \leq \int_x^1 |g(s)| e^{\text{Re}\lambda(x-s)} ds \leq \|g\|_\infty \int_x^1 e^{\text{Re}\lambda(x-s)} ds \leq \frac{\|g\|_\infty}{\text{Re}\lambda}$ .

\boxed{\|R(\lambda,A)\| \leq \frac{1}{\text{Re}\lambda}}

التمرين 4

Exercice 4 — Opérateur fermé et norme du graphe

#closed-operator#graph-norm#banach-space

Soit $A : D(A) \subset E \to E$ un opérateur fermé avec $\overline{D(A)} = E$ . On définit la norme du graphe par

\|x\|_A = \|x\|_E + \|Ax\|_E.

Montrer que $(D(A), \|\cdot\|_A)$ est un espace de Banach.

◀الحل

$(D(A), \|\cdot\|_A)$ est isométrique au graphe $G(A) = \{(x, Ax) : x \in D(A)\} \subset E \times E$ muni de la norme produit. Comme $A$ est fermé, $G(A)$ est fermé dans $E \times E$ . Or $E \times E$ est de Banach (car $E$ l'est), et un sous-espace fermé d'un Banach est Banach.

\boxed{(D(A), \|\cdot\|_A) \text{ est un espace de Banach}}