مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès

التمرين 1

Exercice 1 (Sidi Bel Abbès 2025, 4 pts) — Compacité de $[0,1]$ et de $\{1/n\}\cup\{0\}$

#compacité#topologie usuelle#théorème de Heine-Borel

Soit $X=[0,1]$ muni de la topologie usuelle.

Montrer que $X$ est compact. (2 pts)
Soit $A=\{1/n\mid n\in\mathbb{N}^*\}\cup\{0\}$ . Montrer que $A$ est compact. (2 pts)

$A=\{0\}\cup\{1/n\}$ est l'exemple prototype d'ensemble compact dénombrable dans $\mathbb{R}$ . Sans le point $0$ , $\{1/n\}$ n'est pas compact (n'est pas fermé : sa limite $0$ manque).

◀الحل

$X=[0,1]$ est fermé borné dans $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle. Par le théorème de Heine-Borel, $X$ est compact.

Alternative : montrer directement que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. Soit $(U_i)_i$ un recouvrement ouvert de $[0,1]$ . Poser $E=\{x\in[0,1] : [0,x]\text{ est recouvert par un nombre fini de }U_i\}$ . $E$ non vide ( $0\in E$ ), borné. Soit $s=\sup E$ . Alors $s\in U_{i_0}$ pour un certain $i_0$ , donc $[s-\delta,s+\delta]\cap[0,1]\subset U_{i_0}$ pour $\delta$ assez petit. Si $s<1$ , alors $s+\delta/2\in E$ , contredisant $s=\sup E$ . Donc $s=1$ et $1\in E$ .

$A$ est fermé dans $\mathbb{R}$ (contient sa seule limite $0$ ) et borné (dans $[0,1]$ ). Par Heine-Borel, $A$ compact.

Alternative directe : soit $(U_i)_i$ recouvrement ouvert de $A$ . $0\in A$ , donc $\exists U_{i_0}\ni 0$ . $U_{i_0}$ ouvert, contient un intervalle $[0,\varepsilon[$ . Donc $U_{i_0}$ recouvre tous les $1/n$ avec $1/n<\varepsilon$ , i.e. $n>1/\varepsilon$ . Il reste un nombre fini de $1/n$ à recouvrir (ceux avec $n\le 1/\varepsilon$ ), chacun par un $U_i$ . Sous-recouvrement fini.

التمرين 2

Exercice 2 (Sidi Bel Abbès 2025, 6 pts) — $u(x,y)=e^x\cos y$ : harmonique, conjugué harmonique, produit

#fonction harmonique#conjugué harmonique#équations de Cauchy-Riemann#fonction exponentielle complexe

Soit $u(x,y)=e^x\cos y,\quad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2.$

Montrer que $u$ est harmonique sur $\mathbb{R}^2$ . (2.5 pts)
Trouver une fonction $v$ définie sur $\mathbb{R}^2$ conjuguée harmonique de $u$ . (2.5 pts)
En déduire que la fonction $(u^2-v^2)$ est harmonique sur $\mathbb{R}^2$ . (1 pt)

La fonction $f(z)=e^z$ est entière, ses parties réelle et imaginaire ( $e^x\cos y, e^x\sin y$ ) sont harmoniques et forment un couple conjugué. Plus généralement, si $f$ holomorphe, alors $f^2$ aussi, donc $\mathrm{Re}(f^2)=u^2-v^2$ est harmonique (même astuce que dans l'exercice).

◀الحل

$u_x=e^x\cos y$ , $u_{xx}=e^x\cos y$ . $u_y=-e^x\sin y$ , $u_{yy}=-e^x\cos y$ . Donc $\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0$ . Harmonique.
$v$ conjugué harmonique : Cauchy-Riemann $v_y=u_x=e^x\cos y$ et $v_x=-u_y=e^x\sin y$ .

Intégrant la première en $y$ : $v = e^x\sin y + g(x)$ . Dérivant en $x$ : $v_x = e^x\sin y + g'(x)$ . Or $v_x=e^x\sin y$ , donc $g'(x)=0$ , $g$ constante. Choisir $g=0$ : $v(x,y)=e^x\sin y$ .

Alternativement, $u+iv = e^x\cos y + ie^x\sin y = e^x(\cos y+i\sin y) = e^{x+iy} = e^z$ ( $z=x+iy$ ).

$u+iv=e^z$ holomorphe, donc $(u+iv)^2 = e^{2z}$ aussi holomorphe. Sa partie réelle est $\mathrm{Re}(e^{2z}) = e^{2x}\cos(2y)$ . Or $\mathrm{Re}((u+iv)^2)=u^2-v^2$ . Donc $u^2-v^2=e^{2x}\cos(2y)$ , partie réelle d'une fonction holomorphe, donc harmonique.

Vérification directe : $(u^2-v^2)_{xx} = 4e^{2x}\cos(2y)$ , $(u^2-v^2)_{yy} = -4e^{2x}\cos(2y)$ . Somme nulle. ✓

التمرين 3

Exercice 3 (Sidi Bel Abbès 2025, 10 pts) — Opérateur $A(x_n)=(x_n/2^n)$ sur $\ell^2(\mathbb{N})$

#opérateur borné#opérateur compact#opérateur adjoint#spectre ponctuel#spectre continu

On considère $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ . Sur l'espace de Hilbert réel $H=\ell^2(\mathbb{N})$ , on considère l'opérateur linéaire $A$ qui associe à toute suite $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $H$ la suite $Ax=\left(\dfrac{x_n}{2^n}\right)_{n\in\mathbb{N}}.$

Montrer que $A\in\mathcal{L}(H)$ et calculer sa norme. (3 pts)
Montrer que $A$ est un opérateur compact. (2 pts)
Déterminer $A^*$ , l'opérateur adjoint de $A$ . Est-il auto-adjoint ? (2 pts)
Trouver le spectre ponctuel $\sigma_p(A)$ et le spectre $\sigma(A)$ de $A$ . (2 pts)
$\sigma(A)$ contient-il uniquement des valeurs propres ? (1 pt)

Opérateur diagonal (multiplicateur) sur $\ell^2$ : la norme est $\sup|\lambda_n|$ , il est compact ssi $\lambda_n\to 0$ , auto-adjoint ssi $\lambda_n$ réel. Le spectre est l'adhérence de $\{\lambda_n\}$ . Ici $0$ est dans le spectre mais pas valeur propre : c'est le phénomène typique du spectre continu pour les compacts non inversibles.

◀الحل

Borné : $\|Ax\|^2 = \sum_{n\ge 1}(x_n/2^n)^2 = \sum(x_n^2/4^n)\le (1/4)\sum x_n^2 = \|x\|^2/4$ ... plus généralement $\le (\sup_n 1/4^n)\|x\|^2 = (1/4)\|x\|^2$ ? Non : $(1/2^n)^2=1/4^n$ , majorant par le max donne $\|Ax\|\le(1/2)\|x\|$ . Donc $\|A\|\le 1/2$ .

Pour l'égalité, prendre $x=e_1$ (base canonique) : $Ae_1 = (1/2,0,0,\ldots)$ , $\|Ae_1\|=1/2=\|e_1\|/2$ . Donc $\|A\|=1/2$ .

Compact : $A$ est limite en norme d'opérateurs de rang fini $A_N$ où $A_N x = (x_n/2^n)_{n\le N}$ (complété par 0). $\|A-A_N\|=\sup_{n>N}1/2^n = 1/2^{N+1}\to 0$ . Limite en norme d'opérateurs de rang fini = compact.
Adjoint : $\langle Ax,y\rangle = \sum(x_n/2^n)y_n = \sum x_n(y_n/2^n) = \langle x,A^*y\rangle$ avec $A^*y = (y_n/2^n) = Ay$ . Donc $A^*=A$ , i.e. $A$ auto-adjoint.
Spectre ponctuel : $Ax=\lambda x \Leftrightarrow x_n/2^n=\lambda x_n \Leftrightarrow (1/2^n-\lambda)x_n=0\ \forall n$ . Donc soit $x_n=0$ , soit $\lambda=1/2^n$ . Les valeurs propres sont $\lambda_n=1/2^n$ pour $n\ge 1$ , avec vecteur propre $e_n$ . $\sigma_p(A) = \{1/2^n : n\ge 1\}$ .

Spectre : $\sigma(A) = \overline{\sigma_p(A)}\cup\{\text{valeurs approximatives}\}$ . Pour un opérateur compact auto-adjoint, $\sigma(A) = \sigma_p(A)\cup\{0\}$ où $0$ est le seul point d'accumulation (le spectre s'accumule seulement en $0$ ).

Donc $\sigma(A) = \{0\}\cup\{1/2^n : n\ge 1\}$ .

Non : $0\in\sigma(A)$ (car $A$ compact sur $H$ de dimension infinie n'est pas inversible : $A(e_n)=e_n/2^n\to 0$ mais $e_n$ ne converge pas, donc $A$ non inversible bornement). Or $0\notin\sigma_p(A)$ car $Ax=0\Rightarrow x_n/2^n=0\Rightarrow x=0$ . Donc $0$ est dans le spectre continu (ou résiduel), pas une valeur propre.