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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 05

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours national d'accès au Doctorat LMD 2024-2025, filière Mathématiques Appliquées, Épreuve 1 « Mathématiques générales », Sujet N° 3, Université Djillali Liabès de Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Symétrie d'intégrales et calcul de ∫ x sin x/(1+cos²x)

#definite-integrals#substitution#odd-functions
  1. Soit ff continue sur [a,b][a,b]. Montrer que

∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)\,dx

  1. En déduire la valeur de

I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI=\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx

  1. Montrer que si ff est impaire et continue sur [−a,a][-a,a], alors ∫−aaf(x) dx=0\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
◀الحل

1.

Le changement de variable u=a+b−xu=a+b-x (du=−dxdu=-dx, bornes échangées) donne

∫abf(a+b−x) dx=∫baf(u) (−du)=∫abf(u) du\int_{a}^{b}f(a+b-x)\,dx=\int_{b}^{a}f(u)\,(-du)=\int_{a}^{b}f(u)\,du

2.

Avec a=0a=0, b=πb=\pi : sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x et cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^{2}(\pi-x)=\cos^{2}x, donc

I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx−II=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx=\pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x}\,dx-I

d'où, avec t=cos⁡xt=\cos x :

2I=π∫−11dt1+t2=π[arctan⁡t]−11=π⋅π22I=\pi\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1+t^{2}}=\pi\bigl[\arctan t\bigr]_{-1}^{1}=\pi\cdot\frac{\pi}{2}

I=π24\boxed{I=\frac{\pi^{2}}{4}}

3.

On coupe en deux et on pose x=−ux=-u sur [−a,0][-a,0] :

∫−a0f(x) dx=∫0af(−u) du=−∫0af(u) du\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(-u)\,du=-\int_{0}^{a}f(u)\,du

car f(−u)=−f(u)f(-u)=-f(u). Donc

∫−aaf(x) dx=0\boxed{\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}

التمرين 3

Exercice 3 — Série entière ∑ S_n xⁿ avec S_n = 1+1/2+⋯+1/n

#power-series#radius-of-convergence#harmonic-numbers#generating-functions

Pour n≥1n\geq 1, on pose Sn=∑k=1n1kS_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} et on considère la série entière F(x)=∑n≥1Sn xnF(x)=\sum_{n\geq 1}S_{n}\,x^{n}.

  1. Déterminer le rayon de convergence RR de cette série.
  2. Calculer (1−x)F(x)(1-x)F(x) pour ∣x∣<R|x|\lt R.
  3. En déduire l'expression de F(x)F(x).
◀الحل

1.

On a 1≤Sn≤n1\leq S_{n}\leq n, donc 1≤Sn1/n≤n1/n→11\leq S_{n}^{1/n}\leq n^{1/n}\to 1 : lim sup⁡Sn1/n=1\limsup S_{n}^{1/n}=1 et, par la formule de Cauchy–Hadamard :

R=1\boxed{R=1}

(En x=±1x=\pm 1, Sn↛0S_{n}\not\to 0 : divergence.)

2.

Pour ∣x∣<1|x|\lt 1, en réindexant (S0=0S_{0}=0) :

(1−x)F(x)=∑n≥1Snxn−∑n≥1Snxn+1=∑n≥1(Sn−Sn−1)xn=∑n≥1xnn(1-x)F(x)=\sum_{n\geq 1}S_{n}x^{n}-\sum_{n\geq 1}S_{n}x^{n+1}=\sum_{n\geq 1}\bigl(S_{n}-S_{n-1}\bigr)x^{n}=\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n}}{n}

(1−x)F(x)=−ln⁡(1−x)\boxed{(1-x)F(x)=-\ln(1-x)}

3.

F(x)=−ln⁡(1−x)1−x,∣x∣<1\boxed{F(x)=\frac{-\ln(1-x)}{1-x},\qquad|x|\lt 1}