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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 08

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours national d'accès à la formation de Doctorat LMD 2024–2025, spécialité Mathématiques Appliquées, Épreuve 1 : Mathématiques générales (Sujet N°3), Université Djillali Liabès de Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes.

التمرين 1

Exercice 1 — Symétrie d'intégrales et intégrale d'une fonction impaire

#integration#change-of-variable#odd-function#definite-integral
  1. Soient a,ba,b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction intégrable sur l'intervalle [a,b][a,b]. Montrer que

∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx

  1. En déduire la valeur de l'intégrale

I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx

  1. En déduire que si ff est une fonction impaire et intégrable sur l'intervalle [−a,a][-a,a] (a>0a\gt0) alors ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^a f(x)\,dx=0.
◀الحل

1.

Changement u=a+b−xu=a+b-x, du=−dxdu=-dx : ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−u) du\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-u)\,du.

∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx}

2.

Avec a=0,b=πa=0,b=\pi : I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI=\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}\,dx, donc 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=π[−arctan⁡(cos⁡x)]0π=π⋅π22I=\pi\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx=\pi\big[-\arctan(\cos x)\big]_0^\pi=\pi\cdot\tfrac\pi2.

I=π24\boxed{I=\frac{\pi^2}{4}}

3.

Avec a→−a, b→aa\to-a,\ b\to a : ∫−aaf(x) dx=∫−aaf(−x) dx=−∫−aaf(x) dx\int_{-a}^a f(x)\,dx=\int_{-a}^a f(-x)\,dx=-\int_{-a}^a f(x)\,dx (ff impaire), donc

∫−aaf(x) dx=0\boxed{\int_{-a}^a f(x)\,dx=0}

التمرين 2

Exercice 2 — Diagonalisation d'une matrice de rotation et puissances

#linear-algebra#diagonalization#rotation-matrix#complex-eigenvalues

Soit la matrice RθR_\theta définie par

Rθ=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}

  1. Déterminer les angles θ\theta pour lesquels RθR_\theta est diagonalisable sur R\mathbb{R}.
  2. Montrer que RθR_\theta est diagonalisable sur C\mathbb{C}. Donner sa forme diagonale et calculer RθnR_\theta^n, ∀n≥1\forall n\ge1.
◀الحل

1.

Le polynôme caractéristique est λ2−2cos⁡θ λ+1\lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1, de discriminant 4(cos⁡2θ−1)≤04(\cos^2\theta-1)\le0. Il n'est réel que si sin⁡θ=0\sin\theta=0, i.e.

θ=kπ, k∈Z\boxed{\theta=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}

(dans ce cas Rθ=±IR_\theta=\pm I, déjà diagonale).

2.

Sur C\mathbb{C} les valeurs propres sont e±iθe^{\pm i\theta}, distinctes, donc RθR_\theta est diagonalisable : D=diag(eiθ,e−iθ)D=\mathrm{diag}(e^{i\theta},e^{-i\theta}). Comme RθR_\theta est une rotation d'angle θ\theta :

Rθn=(cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ)=Rnθ\boxed{R_\theta^n=\begin{pmatrix}\cos n\theta & -\sin n\theta\\ \sin n\theta & \cos n\theta\end{pmatrix}=R_{n\theta}}

التمرين 3

Exercice 3 — Série entière des nombres harmoniques

#power-series#radius-of-convergence#harmonic-numbers#generating-function

Pour n≥1n\ge1, on pose Sn=∑k=1n1kS_n=\sum_{k=1}^n\frac1k et on s'intéresse à la série entière ∑n≥1Snxn\sum_{n\ge1}S_n x^n. On note RR son rayon de convergence.

  1. Démontrer que R=1R=1.
  2. On pose, pour x∈ ]−1,1[x\in\,]-1,1[, F(x)=∑n≥1SnxnF(x)=\sum_{n\ge1}S_n x^n. Démontrer que pour tout x∈ ]−1,1[x\in\,]-1,1[ on a

(1−x)F(x)=∑n=1+∞xnn(1-x)F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}

  1. En déduire la valeur de F(x)F(x) sur ]−1,1[]-1,1[.
◀الحل

1.

Sn∼ln⁡nS_n\sim\ln n, donc Sn1/n→1S_n^{1/n}\to1 et

R=1\boxed{R=1}

2.

(1−x)F(x)=∑n≥1Snxn−∑n≥1Snxn+1=∑n≥1(Sn−Sn−1)xn=∑n≥1xnn(1-x)F(x)=\sum_{n\ge1}S_n x^n-\sum_{n\ge1}S_n x^{n+1}=\sum_{n\ge1}(S_n-S_{n-1})x^n=\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n} (avec S0=0S_0=0).

3.

Comme ∑n≥1xnn=−ln⁡(1−x)\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x) :

F(x)=−ln⁡(1−x)1−x\boxed{F(x)=\frac{-\ln(1-x)}{1-x}}