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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation doctorale en Probabilités et Équations Différentielles Stochastiques, Épreuve de Spécialité (Sujet 2), Université Djillali Liabès de Sidi Bel Abbès, Faculté des Sciences Exactes, concours LMD 2024–2025.

التمرين 1

Exercice 1 — Résolution d'EDS linéaires et pont brownien

#sde#ito-formula#linear-sde#brownian-bridge

On considère l'équation

dXt=a(t)Xt dt+b(t) dt+c(t) dBtdX_t=a(t)X_t\,dt+b(t)\,dt+c(t)\,dB_t

où a(t),b(t)a(t),b(t) et c(t)c(t) sont des processus adaptés.

  1. (1,5 pts) Soit α(t)=∫0ta(s) ds\alpha(t)=\int_0^t a(s)\,ds. Vérifier que X0eα(t)X_0 e^{\alpha(t)} est une solution de l'équation homogène (c'est-à-dire b=c=0b=c=0).
  2. (1,5 pts) Poser Yt=e−α(t)XtY_t=e^{-\alpha(t)}X_t, calculer dYtdY_t à l'aide de la formule d'Itô.
  3. (1,5 pts) En déduire YtY_t puis XtX_t sous forme intégrale.
  4. (1,5 pts) Résoudre l'EDS

dXt=b−Xt1−t dt+dBt,0≤t<1, X0=adX_t=\frac{b-X_t}{1-t}\,dt+dB_t,\quad 0\le t\lt 1,\ X_0=a

◀الحل

1.

Si b=c=0b=c=0, x(t)=X0eα(t)x(t)=X_0e^{\alpha(t)} vérifie x′(t)=a(t)x(t)x'(t)=a(t)x(t), donc dXt=a(t)Xt dtdX_t=a(t)X_t\,dt.

Xt=X0eα(t)\boxed{X_t=X_0e^{\alpha(t)}}

2.

α\alpha est à variation finie, donc

dYt=e−α(t)(b(t) dt+c(t) dBt)dY_t=e^{-\alpha(t)}\big(b(t)\,dt+c(t)\,dB_t\big)

3.

Xt=eα(t)(X0+∫0te−α(s)b(s) ds+∫0te−α(s)c(s) dBs)X_t=e^{\alpha(t)}\Big(X_0+\int_0^t e^{-\alpha(s)}b(s)\,ds+\int_0^t e^{-\alpha(s)}c(s)\,dB_s\Big)

4.

Ici a(t)=−11−ta(t)=\frac{-1}{1-t}, donc α(t)=ln⁡(1−t)\alpha(t)=\ln(1-t), eα(t)=1−te^{\alpha(t)}=1-t, avec b(t)=b1−tb(t)=\frac{b}{1-t} et c=1c=1 :

Xt=a(1−t)+bt+(1−t)∫0tdBs1−s\boxed{X_t=a(1-t)+bt+(1-t)\int_0^t\frac{dB_s}{1-s}}

التمرين 2

Exercice 2 — Densité conjointe, marginales et indépendance

#probability#joint-density#marginal-density#independence

Soit XX et YY deux variables aléatoires continues. Soit ff la densité du couple (X,Y)(X,Y) donnée par

f(x,y)={2e−1 x eysi (x,y)∈[0,1]2,0sinon.f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2}{e-1}\,x\,e^y & \text{si }(x,y)\in[0,1]^2,\\[4pt] 0 & \text{sinon.}\end{cases}

  1. Vérifier que ff est bien une densité.
  2. Calculer les densités marginales de XX et YY.
  3. XX et YY sont-elles indépendantes ?
◀الحل

1.

∫01 ⁣∫012e−1xey dx dy=2e−1⋅12⋅(e−1)=1\int_0^1\!\int_0^1\frac{2}{e-1}xe^y\,dx\,dy=\frac{2}{e-1}\cdot\frac12\cdot(e-1)=1, et f≥0f\ge0 : c'est une densité.

2.

fX(x)=∫01f dy=2x sur [0,1],fY(y)=∫01f dx=eye−1 sur [0,1]f_X(x)=\int_0^1 f\,dy=2x\ \text{sur }[0,1],\qquad f_Y(y)=\int_0^1 f\,dx=\frac{e^y}{e-1}\ \text{sur }[0,1]

3.

Comme f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) sur [0,1]2[0,1]^2, XX et YY sont indépendantes.

fX(x)=2x,fY(y)=eye−1,X⊥Y\boxed{f_X(x)=2x,\quad f_Y(y)=\tfrac{e^y}{e-1},\quad X\perp Y}

التمرين 3

Exercice 3 — Lemme et inégalité de Hoeffding

#concentration-inequality#hoeffding#moment-generating-function#probability
  1. Soit XX une variable aléatoire réelle centrée telle que a≤X≤ba\le X\le b p.s. avec a<ba\lt b. Montrer que, pour tout t>0t\gt0,

E{exp⁡(tX)}≤exp⁡ ⁣(t28(b−a)2)\mathbb{E}\{\exp(tX)\}\le\exp\!\Big(\frac{t^2}{8}(b-a)^2\Big)

  1. Soit (Xn)n(X_n)_n une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que, pour tout 1≤k≤n1\le k\le n, il existe des constantes ak<bka_k\lt b_k telles que ak≤Xk≤bka_k\le X_k\le b_k p.s. Montrer que si Sn=∑k=1nXkS_n=\sum_{k=1}^n X_k, alors, pour tout ε≥0\varepsilon\ge0,

P(Sn−E[Sn]≥ε)≤exp⁡ ⁣(−2ε2∑k=1n(bk−ak)2)\mathbb{P}(S_n-\mathbb{E}[S_n]\ge\varepsilon)\le\exp\!\Big(-\frac{2\varepsilon^2}{\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)^2}\Big)

◀الحل

1.

C'est le lemme de Hoeffding. En posant ψ(t)=ln⁡EetX\psi(t)=\ln\mathbb{E}e^{tX}, on a ψ(0)=ψ′(0)=0\psi(0)=\psi'(0)=0 (car XX centrée) et ψ′′(t)≤(b−a)24\psi''(t)\le\frac{(b-a)^2}{4}, d'où par Taylor

E{etX}≤exp⁡ ⁣(t28(b−a)2)\boxed{\mathbb{E}\{e^{tX}\}\le\exp\!\Big(\tfrac{t^2}{8}(b-a)^2\Big)}

2.

Par l'inégalité de Markov exponentielle et l'indépendance, pour t>0t\gt0 :

P(Sn−ESn≥ε)≤e−tε∏k=1nEet(Xk−EXk)≤e−tεexp⁡ ⁣(t28∑k(bk−ak)2)\mathbb{P}(S_n-\mathbb{E}S_n\ge\varepsilon)\le e^{-t\varepsilon}\prod_{k=1}^n\mathbb{E}e^{t(X_k-\mathbb{E}X_k)}\le e^{-t\varepsilon}\exp\!\Big(\tfrac{t^2}{8}\sum_k(b_k-a_k)^2\Big)

En optimisant en t=4ε∑k(bk−ak)2t=\frac{4\varepsilon}{\sum_k(b_k-a_k)^2} :

P(Sn−E[Sn]≥ε)≤exp⁡ ⁣(−2ε2∑k=1n(bk−ak)2)\boxed{\mathbb{P}(S_n-\mathbb{E}[S_n]\ge\varepsilon)\le\exp\!\Big(-\frac{2\varepsilon^2}{\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)^2}\Big)}

(Inégalité de Hoeffding.)