مسابقة دكتوراه 2016 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Épreuve Écrite du Concours d'accès à la formation de troisième cycle (Doctorat) de Mathématiques — Spécialité Analyse Stochastique et Statistique des Processus — Durée 90 minutes, sans documents — Université Dr. Tahar Moulay de Saida — 09 octobre 2016 — Pr. T. GUENDOUZI.

التمرين 1

Exercice 1 — Martingales locales et formule d'Itô généralisée

#local-martingales#ito-formula#stochastic-exponential#quadratic-variation

Soient $X$ une martingale locale continue et $f(x, y)$ de classe $\mathcal{C}^{2,1}$ . Montrer que si

$\frac{1}{2}\partial_{xx}^2 f + \partial_y f \equiv 0$

alors $(f(X_t, \langle X \rangle_t))$ est une martingale locale.

Soit $X$ une martingale locale continue. Montrer que le processus stochastique défini par

$\mathcal{E}(X)_t = \exp\!\left(X_t - \frac{1}{2}\langle X \rangle_t\right)$

est une martingale locale.

◀الحل

1.

On applique la formule d'Itô à $f(X_t, \langle X\rangle_t)$ :

$df(X_t, \langle X\rangle_t) = \partial_x f\,dX_t + \partial_y f\,d\langle X\rangle_t + \frac{1}{2}\partial_{xx}^2 f\,d\langle X\rangle_t$

$= \partial_x f\,dX_t + \underbrace{\left(\partial_y f + \frac{1}{2}\partial_{xx}^2 f\right)}_{=\,0}d\langle X\rangle_t = \partial_x f(X_t, \langle X\rangle_t)\,dX_t$

Ceci est une intégrale stochastique par rapport à la martingale locale $X$ , donc $(f(X_t, \langle X\rangle_t))$ est une martingale locale. $\square$

2.

On pose $f(x, y) = e^{x - y/2}$ . Alors :

$\partial_x f = e^{x-y/2}, \quad \partial_{xx}^2 f = e^{x-y/2}, \quad \partial_y f = -\frac{1}{2}e^{x-y/2}$

$\frac{1}{2}\partial_{xx}^2 f + \partial_y f = \frac{1}{2}e^{x-y/2} - \frac{1}{2}e^{x-y/2} = 0 \quad \checkmark$

Par la question 1, $\mathcal{E}(X)_t = f(X_t, \langle X\rangle_t)$ est une martingale locale. $\square$

التمرين 2

Exercice 2 — Formule de produit d'Itô et équation différentielle stochastique géométrique

#ito-formula#sde#geometric-brownian-motion#uniqueness

Soient $(Z_t)$ , $(Y_t)$ deux processus d'Itô,

$Z_t = Z_0 + \int_0^t K_s\,ds + \int_0^t H_s\,dW_s, \quad Y_t = Y_0 + \int_0^t L_s\,ds + \int_0^t G_s\,dW_s$

a. Montrer que $U_t = Z_t + Y_t$ est un processus d'Itô. Exprimer $U_t^2$ en utilisant la formule d'Itô.

b. En déduire que

$Z_t Y_t = Z_0 Y_0 + \int_0^t Z_s\,dY_s + \int_0^t Y_s\,dZ_s + \int_0^t H_s G_s\,ds$

Montrer que $S_t = x_0\exp\!\left((\mu - \tfrac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t\right)$ est une solution issue de $x_0$ de l'équation

$dX_t = X_t(\mu\,dt + \sigma\,dW_t)$

Montrer, en considérant une autre solution $(X_t)$ et en appliquant la question 1 (pour montrer que $\frac{X_t}{S_t}$ est constant), que $(S_t)$ est la seule solution issue de $x_0$ .

◀الحل

1a.

$dU_t = (K_t + L_t)\,dt + (H_t + G_t)\,dW_t$ : $U_t$ est bien un processus d'Itô.

Par la formule d'Itô appliquée à $g(u) = u^2$ :

$d(U_t^2) = 2U_t\,dU_t + (H_t + G_t)^2\,dt$

1b.

En utilisant $Z_t Y_t = \frac{(Z_t+Y_t)^2 - Z_t^2 - Y_t^2}{2}$ et les formules d'Itô pour $Z^2$ , $Y^2$ et $U^2$ , on obtient par identification du terme croisé :

$d(Z_t Y_t) = Z_t\,dY_t + Y_t\,dZ_t + H_t G_t\,dt$

En intégrant :

$\boxed{Z_t Y_t = Z_0 Y_0 + \int_0^t Z_s\,dY_s + \int_0^t Y_s\,dZ_s + \int_0^t H_s G_s\,ds}$

2.

Par la formule d'Itô appliquée à $f(t,x) = x_0 e^{(\mu-\sigma^2/2)t + \sigma x}$ :

$dS_t = S_t\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + S_t\sigma\,dW_t + \frac{1}{2}S_t\sigma^2\,dt = S_t\mu\,dt + S_t\sigma\,dW_t \quad \checkmark$

Et $S_0 = x_0$ . Donc $S_t$ est bien solution.

3.

Soit $(X_t)$ une autre solution. On pose $R_t = X_t / S_t$ et on applique la formule de 1b à $(X_t, S_t^{-1})$ . Un calcul d'Itô montre que $dR_t = 0$ , donc $R_t = R_0 = 1$ p.s. pour tout $t$ .

$\boxed{X_t = S_t \text{ p.s.} : \text{unicité de la solution.}}$