مسابقة دكتوراه 2018 — Université Dr Moulay Tahar

التمرين 1

Exercice 1 — Endomorphismes, valeurs propres et diagonalisation dans $\mathbb{R}^3$

#linear-algebra#eigenvalues#diagonalization#matrix-inverse

(2 pts) Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et soit $S \in \mathcal{L}(E)$ tel que $S \circ S = Id_E$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $S$ ?
(3 pts) On considère $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3 = I_n$ où $I_n$ est la matrice unité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . a. Exprimer $(A + I_n)^3$ en fonction de $A$ . b. En déduire que $(A + I_n)$ est inversible. (On exprimera $(A + I_n)^{-1}$ en fonction de $A$ .)
(5 pts) On munit $\mathbb{R}^3$ de sa base canonique $B = \{e_1, e_2, e_3\}$ . Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ représenté dans la base $B$ par la matrice

$A = \begin{pmatrix} 6 & -4 & -4 \\\\ 5 & -3 & -4 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

a. Trouver les valeurs propres de $A$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? b. On suppose qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = A$ . Montrer que $AM = MA$ . c. Trouver une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telle que $A = PDP^{-1}$ . d. Trouver toutes les matrices diagonales $d$ telles que $d^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . e. Quel est le nombre de solutions de l'équation $M^2 = A$ ?

◀الحل

1.

Si $S \circ S = Id_E$ , alors $S^2 - Id = 0$ , donc le polynôme minimal de $S$ divise $X^2 - 1 = (X-1)(X+1)$ .

Les valeurs propres possibles de $S$ sont

$\boxed{\lambda = 1 \text{ ou } \lambda = -1}$

2a.

$(A + I_n)^3 = A^3 + 3A^2 + 3A + I_n$ . Puisque $A^3 = I_n$ :

$(A + I_n)^3 = 3A^2 + 3A + 2I_n$

2b.

On calcule $(A + I_n)(A^2 - A + I_n) = A^3 - A^2 + A + A^2 - A + I_n = A^3 + I_n = 2I_n$ .

Donc $(A + I_n)$ est inversible et

$\boxed{(A + I_n)^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - A + I_n)}$

3a. Valeurs propres de $A$ .

$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ . Un calcul direct donne

$\chi_A(\lambda) = -\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2)$

Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 0$ , $\lambda_2 = 1$ , $\lambda_3 = 2$ . Trois valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ $A$ est diagonalisable.

3b. $AM = MA$ .

$AM = M^2 \cdot M = M \cdot M^2 = MA$ (associativité du produit matriciel). $\square$

3c. Diagonalisation.

Vecteurs propres associés :

$\lambda = 0$ : $v_1 = (2, 2, 1)^T$
$\lambda = 1$ : $v_2 = (0, 1, -1)^T$
$\lambda = 2$ : $v_3 = (1, 1, 0)^T$

$\boxed{P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$

3d. Matrices diagonales $d$ avec $d^2 = D$ .

$d = \mathrm{diag}(d_1, d_2, d_3)$ avec $d_1^2 = 0$ , $d_2^2 = 1$ , $d_3^2 = 2$ . Donc $d_1 = 0$ , $d_2 = \pm 1$ , $d_3 = \pm\sqrt{2}$ .

$\boxed{\text{Il y a } 1 \times 2 \times 2 = 4 \text{ matrices diagonales.}}$

3e. Nombre de solutions de $M^2 = A$ .

Puisque $A$ est diagonalisable à valeurs propres simples, les solutions sont de la forme $M = P d P^{-1}$ où $d^2 = D$ . Il y a 4 solutions réelles.

التمرين 2

Exercice 2 — Développement limité, intégrale, points critiques et intégrale double

#calculus#taylor-series#integration#critical-points#double-integral

(2 pts) Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction $x \mapsto \ln(1 + x\cos^2 x)$ . En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x\cos^2 x)}{4x}$ .
(2 pts) Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_1^e \frac{e^{\sqrt{1 + \ln x}}}{x}\, dx$ en faisant le changement $t = 1 + \ln x$ .
(3 pts) Déterminer les points critiques de la fonction $f$ où

$f(x, y) = y^3 + 3x^2 y - 6x^2 - 6y^2 + 2$

et donner leur nature.

(3 pts) Calculer $\displaystyle\iint_D \frac{dx\,dy}{1 + x^2 + y^2}$ , où $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \lt y \lt x,\ 1 \lt x^2 + y^2 \lt 4\}$ .

◀الحل

1.

$\cos^2 x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ , donc $x\cos^2 x = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$ .

En posant $u = x - \frac{x^3}{2}$ et développant $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$ :

$\ln(1 + x\cos^2 x) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

Donc

$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x\cos^2 x)}{4x} = \frac{1}{4}}$

2.

Avec $t = 1 + \ln x$ , $dt = dx/x$ . Bornes : $x=1 \Rightarrow t=1$ , $x=e \Rightarrow t=2$ .

$I = \int_1^2 e^{\sqrt{t}}\, dt$ . Puis $u = \sqrt{t}$ , $dt = 2u\,du$ :

$I = 2\int_1^{\sqrt{2}} u e^u\, du = 2\bigl[(u-1)e^u\bigr]_1^{\sqrt{2}}$

$\boxed{I = 2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}}$

3.

$\partial_x f = 6x(y-2) = 0$ et $\partial_y f = 3(y^2 + x^2 - 4y) = 0$ .

Cas $x = 0$ : $y^2 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0$ ou $y = 4$ . Points : $(0,0)$ et $(0,4)$ .

Cas $y = 2$ : $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Points : $(\pm 2, 2)$ .

Hessien : $\det H = (6y-12)^2 - 36x^2$ , avec $f_{xx} = 6y - 12$ .

$(0,0)$ : $\det H = 144 \gt 0$ , $f_{xx} = -12 \lt 0$ → maximum local
$(0,4)$ : $\det H = 144 \gt 0$ , $f_{xx} = 12 \gt 0$ → minimum local
$(\pm 2, 2)$ : $\det H = -144 \lt 0$ → points selle

4.

En coordonnées polaires : $0 \lt \theta \lt \pi/4$ et $1 \lt r \lt 2$ .

$\iint_D \frac{dx\,dy}{1+r^2} = \frac{\pi}{4}\int_1^2 \frac{r\,dr}{1+r^2} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2}\bigl[\ln(1+r^2)\bigr]_1^2$

$\boxed{= \frac{\pi}{8}\ln\frac{5}{2}}$

التمرين 1

1.

2a.

2b.

3a. Valeurs propres de AAA.

3b. AM=MAAM = MAAM=MA.