مسابقة دكتوراه 2018 — Université Dr Moulay Tahar

التمرين 1

Exercice 1 — Algèbre linéaire : valeurs propres, inversibilité et racines carrées de matrices

#linear-algebra#eigenvalues#diagonalization#matrix-square-root

(3 pts) Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et soit $S\in\mathcal{L}(E)$ tel que $S\circ S=\mathrm{Id}_E$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $S$ ?
(2 pts) On considère $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3=I_n$ où $I_n$ est la matrice unité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . a. Exprimer $(A+I_n)^3$ en fonction de $A$ . b. En déduire que $(A+I_n)$ est inversible (on exprimera $(A+I_n)^{-1}$ en fonction de $A$ ).
(5 pts) On munit $\mathbb{R}^3$ de sa base canonique $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ . Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ représenté dans la base $B$ par la matrice

$A=\begin{pmatrix} 6 & -4 & -4 \\ 5 & -3 & -4 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

a. Trouver les valeurs propres de $A$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? b. On suppose qu'il existe $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2=A$ . Montrer que $AM=MA$ . c. Trouver une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telle que $A=PDP^{-1}$ . d. Trouver toutes les matrices diagonales $d$ telles que $d^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ . e. Quel est le nombre de solutions de l'équation $M^2=A$ ?

◀الحل

1.

Comme $S\circ S=\mathrm{Id}_E$ , $S$ annule le polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1)$ . Les valeurs propres possibles sont donc parmi $\{-1,1\}$ .

$\boxed{\lambda\in\{-1,\,1\}}$

2.

a. $(A+I_n)^3=A^3+3A^2+3A+I_n=3A^2+3A+2I_n$ (car $A^3=I_n$ ).

b. Comme $(A+I_n)(A^2-A+I_n)=A^3+I_n=2I_n$ , on a

$\boxed{(A+I_n)^{-1}=\tfrac12(A^2-A+I_n)}$

3.

a. Le polynôme caractéristique est $\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$ . Les valeurs propres $0,1,2$ sont distinctes, donc $A$ est diagonalisable.

b. Si $M^2=A$ alors $MA=M\,M^2=M^2\,M=AM$ , d'où $\boxed{AM=MA}$ .

c. $A=PDP^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}(0,1,2)$ et $P$ la matrice des vecteurs propres.

d. $d_1=0$ , $d_2=\pm1$ , $d_3=\pm\sqrt2$ : 4 matrices.

e. $M$ se diagonalise dans la même base que $A$ , donc $\boxed{4}$ solutions.

التمرين 2

Exercice 2 — Analyse : DL, intégrale, points critiques et intégrale double

#taylor-expansion#integration#critical-points#double-integral

(2,5 pts) Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction $x\mapsto \ln(1+x\cos^2 x)$ . En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x\cos^2 x)}{4x}$ .
(2,5 pts) Calculer l'intégrale $\displaystyle I=\int_1^e \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx$ en faisant le changement $t=1+\ln x$ .
(2,5 pts) Déterminer les points critiques de la fonction $f$ où

$f(x,y)=y^3+3x^2y-6x^2-6y^2+2$

et donner leur nature. 4. (2,5 pts) Calculer $\displaystyle\iint_D \frac{dx\,dy}{1+x^2+y^2}$ , où $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,0\lt y\lt x,\ 1\lt x^2+y^2\lt 4\}$ .

◀الحل

1.

$x\cos^2 x=x-x^3+o(x^3)$ , et $\ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}{2}+\tfrac{u^3}{3}+o(u^3)$ donnent

$\ln(1+x\cos^2 x)=x-\frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$

$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x\cos^2x)}{4x}=\frac14}$

2.

Avec $t=1+\ln x$ , $dt=\tfrac{dx}{x}$ , bornes $1\to2$ :

$I=\int_1^2\sqrt t\,dt=\Big[\tfrac23 t^{3/2}\Big]_1^2=\boxed{\tfrac23\,(2\sqrt2-1)}$

3.

$f_x=6x(y-2)$ , $f_y=3(x^2+y^2-4y)$ . Points critiques : $(0,0),(0,4),(2,2),(-2,2)$ . $(0,0)$ maximum local, $(0,4)$ minimum local, $(2,2)$ et $(-2,2)$ points selles.

4.

En polaires, $D$ : $0\lt\theta\lt\tfrac\pi4$ , $1\lt r\lt2$ :

$\iint_D\frac{dx\,dy}{1+x^2+y^2}=\int_0^{\pi/4}\!\!\int_1^2\frac{r}{1+r^2}\,dr\,d\theta=\boxed{\frac{\pi}{8}\ln\frac{5}{2}}$