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مسابقة دكتوراه 2022 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation de 3ème cycle au titre de l'année universitaire 2021-2022 — Filière Mathématiques Appliquées, Épreuve générale : Théorie de la mesure et Processus aléatoires, Sujet N°03, Université de Saïda - Dr. Moulay Tahar, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques — 03 mars 2022 (Durée 90 mns).

التمرين 1

Exercice 1 — Mesure image et théorème de transfert

#measure-theory#image-measure#transfer-theorem#dirac-measure

Soient (E,A,μ)(E,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré et (F,B)(F,\mathcal{B}) un espace mesurable. Soit g:(E,A)→(F,B)g:(E,\mathcal{A})\to(F,\mathcal{B}) une fonction mesurable. Pour B∈BB\in\mathcal{B}, on pose ν(B)=μ(g−1(B))\nu(B)=\mu(g^{-1}(B)).

  1. (3 pts) Vérifier que ν\nu est une mesure sur (F,B)(F,\mathcal{B}). On l'appelle mesure image de μ\mu par gg.
  2. (3 pts) On suppose dans cette question que (E,A,μ)=(R,B(R),δa)(E,\mathcal{A},\mu)=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\delta_a) (où aa est un réel fixé) et que (F,B)=(R,B(R))(F,\mathcal{B})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). Déterminer ν\nu.
  3. (4 pts) On revient au cas général, et on fixe f:(F,B)→(R,B(R))f:(F,\mathcal{B})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) mesurable. Démontrer que ff est intégrable par rapport à ν\nu si et seulement si f∘gf\circ g est intégrable par rapport à μ\mu, et que dans ce cas

∫Ff dν=∫Ef∘g dμ.\int_F f\,d\nu=\int_E f\circ g\,d\mu.

◀الحل

1.

ν(∅)=μ(g−1(∅))=μ(∅)=0\nu(\emptyset)=\mu(g^{-1}(\emptyset))=\mu(\emptyset)=0. Pour des Bi∈BB_i\in\mathcal{B} disjoints, les g−1(Bi)g^{-1}(B_i) sont disjoints et g−1(⋃Bi)=⋃g−1(Bi)g^{-1}(\bigcup B_i)=\bigcup g^{-1}(B_i), donc par σ\sigma-additivité de μ\mu :

ν(⋃iBi)=μ(⋃ig−1(Bi))=∑iμ(g−1(Bi))=∑iν(Bi).\nu\Big(\bigcup_i B_i\Big)=\mu\Big(\bigcup_i g^{-1}(B_i)\Big)=\sum_i\mu(g^{-1}(B_i))=\sum_i\nu(B_i).

Donc ν\nu est une mesure.

2.

ν(B)=δa(g−1(B))=1{a∈g−1(B)}=1{g(a)∈B}\nu(B)=\delta_a(g^{-1}(B))=\mathbf{1}_{\{a\in g^{-1}(B)\}}=\mathbf{1}_{\{g(a)\in B\}}. Donc

ν=δg(a).\boxed{\nu=\delta_{g(a)}.}

3.

On procède par les étapes standard :

Indicatrices : pour f=1Bf=\mathbf{1}_B, ∫F1B dν=ν(B)=μ(g−1(B))=∫E1B∘g dμ\int_F\mathbf{1}_B\,d\nu=\nu(B)=\mu(g^{-1}(B))=\int_E\mathbf{1}_B\circ g\,d\mu (car 1B∘g=1g−1(B)\mathbf{1}_B\circ g=\mathbf{1}_{g^{-1}(B)}).

Fonctions étagées : par linéarité.

Fonctions positives : par convergence monotone (limite croissante d'étagées).

Cas général : en décomposant f=f+−f−f=f^+-f^-, ff est ν\nu-intégrable ssi ∫f±dν<∞\int f^\pm d\nu\lt\infty ssi ∫f±∘g dμ<∞\int f^\pm\circ g\,d\mu\lt\infty ssi f∘gf\circ g est μ\mu-intégrable, et alors

∫Ff dν=∫Ef∘g dμ.\boxed{\int_F f\,d\nu=\int_E f\circ g\,d\mu.}

التمرين 2

Exercice 2 — Mouvement Brownien : temps d'arrêt, E[Bτ], et ruine du joueur

#stochastic-processes#brownian-motion#stopping-time#optional-stopping

Soit BB un mouvement Brownien.

  1. (2 pts) Soit τ\tau un temps d'arrêt borné. Calculer E[Bτ]\mathbb{E}[B_\tau] et E[Bτ2]\mathbb{E}[B_\tau^2].
  2. (3 pts) Montrer que si TT est un temps d'arrêt tel que E(T)<+∞\mathbb{E}(T)\lt+\infty, alors E(BT)=0\mathbb{E}(B_T)=0.
  3. Pour tout a∈Ra\in\mathbb{R}, on pose Ta=inf⁡{t≥0:Bt=a}T_a=\inf\{t\geq 0:B_t=a\}. i. (2 pts) Déduire de la question 2 que E[Ta]=+∞\mathbb{E}[T_a]=+\infty. ii. (3 pts) On considère τ=Ta∧Tb\tau=T_a\wedge T_b, où b<0<ab\lt 0\lt a. Montrer que E(Bτ)=0\mathbb{E}(B_\tau)=0. En déduire P(Ta<Tb)\mathbb{P}(T_a\lt T_b).
◀الحل

1.

(Bt)(B_t) et (Bt2−t)(B_t^2-t) sont des martingales. Par le théorème d'arrêt de Doob (temps d'arrêt borné) :

E[Bτ]=E[B0]=0,E[Bτ2]=E[τ].\mathbb{E}[B_\tau]=\mathbb{E}[B_0]=0,\qquad \mathbb{E}[B_\tau^2]=\mathbb{E}[\tau].

2.

On applique l'arrêt à τ∧n\tau\wedge n : E[Bτ∧n]=0\mathbb{E}[B_{\tau\wedge n}]=0. Comme E[T]<∞\mathbb{E}[T]\lt\infty, la famille (Bτ∧n)(B_{\tau\wedge n}) est uniformément intégrable (via E[sup⁡t≤τ∣Bt∣]<∞\mathbb{E}[\sup_{t\leq \tau}|B_t|]\lt\infty et l'inégalité de Doob avec E[Bτ∧n2]=E[τ∧n]≤E[T]\mathbb{E}[B_{\tau\wedge n}^2]=\mathbb{E}[\tau\wedge n]\leq\mathbb{E}[T]). Par passage à la limite, E[BT]=0\mathbb{E}[B_T]=0.

3.

i. On a BTa=a≠0B_{T_a}=a\neq 0 (si a≠0a\neq 0). Si E[Ta]<∞\mathbb{E}[T_a]\lt\infty, la question 2 donnerait E[BTa]=0\mathbb{E}[B_{T_a}]=0, soit a=0a=0, contradiction. Donc E[Ta]=+∞\mathbb{E}[T_a]=+\infty.

ii. τ=Ta∧Tb\tau=T_a\wedge T_b est fini p.s. et E[τ]<∞\mathbb{E}[\tau]\lt\infty (le Brownien sort de (b,a)(b,a) en temps intégrable). Par la question 2, E[Bτ]=0\mathbb{E}[B_\tau]=0. Or Bτ=aB_\tau=a si Ta<TbT_a\lt T_b, et Bτ=bB_\tau=b sinon :

a P(Ta<Tb)+b (1−P(Ta<Tb))=0.a\,\mathbb{P}(T_a\lt T_b)+b\,(1-\mathbb{P}(T_a\lt T_b))=0.

P(Ta<Tb)=−ba−b=∣b∣a+∣b∣.\boxed{\mathbb{P}(T_a\lt T_b)=\frac{-b}{a-b}=\frac{|b|}{a+|b|}.}