مسابقة دكتوراه 2025 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 01

1.

Densité conjointe de $(X,Y)$ : $f(x,y)=\dfrac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}y^{\beta-1}e^{-\lambda(x+y)}$, $x,y\gt 0$.

Changement $u=x+y$, $v=\dfrac{x}{x+y}$, soit $x=uv$, $y=u(1-v)$, jacobien $|J|=u$. Alors

$g(u,v)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}(uv)^{\alpha-1}(u(1-v))^{\beta-1}e^{-\lambda u}\cdot u.$

$g(u,v)=\underbrace{\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha+\beta)}u^{\alpha+\beta-1}e^{-\lambda u}}_{\Gamma(\alpha+\beta,\lambda)}\cdot\underbrace{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}}_{\text{Beta}(\alpha,\beta)},\quad u\gt 0,\ v\in(0,1).$

2.

La densité se factorise en un produit d'une fonction de $u$ seule et d'une fonction de $v$ seule : $U$ et $V$ sont indépendantes, avec

$\boxed{U\sim\Gamma(\alpha+\beta,\lambda),\qquad V\sim\text{Beta}(\alpha,\beta).}$

1. Test de Mann-Whitney-Wilcoxon

On a $n=7$ (groupe $G_1$), $m=5$ (groupe $G_2$). On classe les $n+m=12$ valeurs par ordre croissant et on attribue les rangs (moyens en cas d'exæquo) :

$11_{(1)},\ 21_{(2{,}5)},\ 21_{(2{,}5)},\ 22_{(4)},\ 25_{(5)},\ 43_{(6)},\ 52_{(7)},\ 71_{(8)},\ 72_{(9)},\ 79_{(10)},\ 91_{(11)},\ 100_{(12)}.$

Somme des rangs de $G_1$ : $R_1=1+2{,}5+2{,}5+5+7+8+10=36$.

Statistique de Mann-Whitney :

$U_1=R_1-\frac{n(n+1)}{2}=36-28=8,\qquad U_2=nm-U_1=35-8=27.$

Le nombre de paires $(x_i\in G_1,\ y_j\in G_2)$ avec $x_i\gt y_j$ vaut $8$. Sous $H_1:F_1\lt F_2$ (le groupe 1 stochastiquement plus grand), on rejette $H_0$ pour de grandes valeurs de ce compte. La valeur critique unilatérale au seuil 5% pour $(n,m)=(7,5)$ est $nm-U_{crit}=35-6=29$.

Comme $8\lt 29$, on ne rejette pas $H_0$. Au contraire, les valeurs de $G_1$ tendent à être plus petites que celles de $G_2$ : les données ne soutiennent pas $H_1$.

$\boxed{\text{Au seuil }5\%,\text{ on ne rejette pas }H_0:F_1=F_2.}$

1.

$X_n$ est le temps résiduel jusqu'au prochain instant de renouvellement (les instants $S_k=Y_1+\cdots+Y_k$). Dynamique : si $X_n=j\gt 0$, alors $X_{n+1}=j-1$ (on se rapproche d'un pas). Si $X_n=0$ (renouvellement en $n$), alors $X_{n+1}=Y-1$ où $Y$ est un nouveau temps inter-renouvellement, de loi celle de $Y_1$.

Donc les transitions sont : $p(j,j-1)=1$ pour $j\geq 1$, et $p(0,j-1)=\mathbb{P}(Y_1=j)$ pour $j\geq 1$. Comme le futur ne dépend que de l'état présent, $(X_n)$ est une chaîne de Markov.

Irréductibilité : depuis 0 on atteint tout état $j-1$ tel que $\mathbb{P}(Y_1=j)\gt 0$, puis on descend jusqu'à 0 ; l'ensemble des états accessibles communique. Apériodicité : l'état 0 est atteignable en $n$ pas pour tout $n$ appartenant au semi-groupe engendré par le support de $Y_1$ ; comme le pgcd vaut 1, la période de 0 est 1.

2.

La loi stationnaire de la chaîne de temps résiduel est $\pi_j=\dfrac{\mathbb{P}(Y_1\gt j)}{\mu}$, $j\geq 0$, en particulier $\pi_0=\dfrac{\mathbb{P}(Y_1\geq 1)}{\mu}=\dfrac{1}{\mu}$.

Or $\{X_n=0\}=\{\exists k:\ Y_1+\cdots+Y_k=n\}$ (renouvellement à l'instant $n$). Par le théorème ergodique pour les chaînes irréductibles apériodiques récurrentes positives ($\mu\lt\infty$) :

$\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n=0)=\pi_0=\frac{1}{\mu}.$

$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(\exists k\geq 1,\ Y_1+\cdots+Y_k=n)=\frac{1}{\mu}.}$

C'est le théorème de renouvellement discret.