مسابقة دكتوراه 2016 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 2 · المدة: 2سا

Concours d'accès au Doctorat 3e cycle, LMD 2016/2017, Spécialité : Mathématiques Appliquées, Épreuve : Analyse fonctionnelle, Faculté Sciences Exactes, Département Mathématiques, Université d'El-Oued, 22 Octobre 2016, durée 2h, coefficient 2.

التمرين 1

Exercice 1 — Espace métrique sur ℕ* et topologie discrète

#metric-spaces#discrete-topology#cauchy-sequences#compact-sets

Soient $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls et $d : \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ l'application définie par :

$\forall (x,y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*, \quad d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ 2 + \dfrac{x+y}{xy} & \text{si } x \neq y \end{cases}$

Montrer que $(\mathbb{N}^*, d)$ est un espace métrique.
Montrer que la topologie $\mathcal{T}_d$ associée à la distance $d$ sur $\mathbb{N}^*$ est la topologie discrète.
Déterminer les suites de Cauchy dans l'espace métrique $(\mathbb{N}^*, d)$ .
Donner une caractérisation des sous-ensembles compacts dans l'espace topologique $(\mathbb{N}^*, \mathcal{T}_d)$ .

◀الحل

1.

$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$ ✓. Symétrie : évidente. Inégalité triangulaire : pour $x\neq z$ , $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$ se vérifie en distinguant les cas.

2.

Pour tout $x\in\mathbb{N}^*$ , $B(x,1) = \{x\}$ (car $d(x,y)\geq 2$ pour $y\neq x$ ). Donc $\{x\}$ est ouvert, la topologie est discrète.

3.

Dans la topologie discrète, une suite est de Cauchy si et seulement si elle est stationnaire (constante à partir d'un certain rang).

4.

Dans $(\mathbb{N}^*, \mathcal{T}_d)$ (discret), les compacts sont exactement les sous-ensembles finis.

$\boxed{\text{Compacts} = \text{sous-ensembles finis de } \mathbb{N}^*.}$

التمرين 2

Exercice 2 — Distributions tempérées

#tempered-distributions#schwartz-space#exponential-growth

Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x) = \cos(e^x)$ est une distribution tempérée (i.e. $f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ ). Peut-on dire la même chose de la fonction $g$ définie par $g(x) = e^x \sin(e^x)$ ?
Prouver que $g$ n'est pas majorée par un polynôme.

◀الحل

1.

$f(x) = \cos(e^x)$ est bornée : $|f(x)| \leq 1$ . Toute fonction localement intégrable à croissance polynomiale définit une distribution tempérée. Donc $f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ .

Pour $g(x) = e^x\sin(e^x)$ : on remarque que $g = -(\cos(e^x))' = -f'$ . Puisque $f \in \mathcal{S}'$ et la dérivation est continue sur $\mathcal{S}'$ , on a $g = -f' \in \mathcal{S}'$ .

2.

$|g(x)| = e^x|\sin(e^x)|$ . Sur les points $x_n = \ln(\pi/2 + 2n\pi)$ (où $\sin(e^{x_n})=1$ ), $|g(x_n)| = e^{x_n} = \pi/2+2n\pi \to +\infty$ mais cela croît polynomialement. Cependant, la croissance de $e^x$ dépasse tout polynôme fixé : pour tout polynôme $P$ , $e^x/|P(x)| \to +\infty$ , donc $g$ n'est pas majorée par un polynôme.

$\boxed{f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}),\quad g \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}),\quad g \text{ non majorée par un polynôme.}}$

التمرين 3

Exercice 3 — Problème aux limites et solution faible

#weak-solutions#lax-milgram#sobolev-spaces#boundary-value-problem

On considère le problème aux limites suivant :

$\begin{cases} -(pu')' + ru' + qu = f, & \text{sur } ]0,1[ \\ u'(0) = u'(1) = 0 \end{cases} \tag{1}$

où $u$ est la fonction inconnue, $u'$ sa dérivée, et $p, r, q, f$ sont des fonctions données telles que $p \in C^2([0,1])$ , $r \in C_0^\infty([0,1])$ , $q \in C([0,1])$ , $f \in L^2([0,1])$ .

On suppose que $|r'| \leq 2$ et qu'il existe $\alpha > 0$ , $\beta > 1$ tels que $p(x) \geq \alpha$ , $q(x) \geq \beta$ , $\forall x \in [0,1]$ .

Définition : On appelle solution faible de (1) toute fonction $u \in H^1([0,1])$ qui vérifie :

$\int_0^1 pu'v'\, dx + \int_0^1 ru'v\, dx + \int_0^1 quv\, dx = \int_0^1 fv\, dx, \quad \forall v \in H^1([0,1]).$

Montrer que toute solution classique de (1) est une solution faible.
Montrer, en utilisant le théorème de Lax-Milgram, que pour tout $f \in L^2([0,1])$ le problème (1) admet une solution faible unique.
Montrer que $u \in H^2([0,1])$ .

◀الحل

1.

Si $u$ est solution classique, multiplier (1) par $v \in H^1$ , intégrer sur $[0,1]$ et intégrer par parties $-(pu')'v = pu'v'$ (les termes de bord s'annulent grâce aux CL $u'(0)=u'(1)=0$ ). On obtient la formulation faible.

2.

Soit $a(u,v) = \int_0^1 pu'v'dx + \int_0^1 ru'vdx + \int_0^1 quvdx$ . Continuité : par Cauchy-Schwarz. Coercivité : $a(u,u) = \int_0^1 p|u'|^2dx + \int_0^1 ru'udx + \int_0^1 qu^2dx \geq \alpha\|u'\|^2 + \beta\|u\|^2 - \|r\|_\infty\|u'\|\|u\| \geq C\|u\|^2_{H^1}$ (par Young et hypothèses sur $p$ , $q$ , $r'$ ). Par Lax-Milgram, existence et unicité.

3.

De la formulation faible, $pu'' = f - ru' - qu + p'u' \in L^2$ (car $u' \in L^2$ par $u\in H^1$ ), donc $u'' \in L^2$ , i.e. $u \in H^2([0,1])$ .

$\boxed{\text{Par Lax-Milgram : solution faible unique } u \in H^2([0,1]).}$

التمرين 4

Exercice 4 — Opérateur intégral et spectre

#integral-operator#spectrum#operator-norm#banach-space

Soit $E = C([0,1])$ muni de la norme $\|.\|_{\infty}$ . Pour $f \in E$ on définit :

$Tf(x) = \int_0^1 K(x,t) f(t)\, dt$

où $K(x,t) \in C([0,1] \times [0,1])$ . Soit $M = \sup_{0 \leq x,t \leq 1} |K(x,t)|$ .

Montrer que l'opérateur $T$ est dans $B(E)$ .
Montrer que pour tout $n \geq 1$ , $|T^n f(x)| \leq \dfrac{M^n}{n!} x^n \|f\|_{\infty}$ . En déduire que $\|T^n\| \leq \dfrac{M^n}{n!}$ .
Déterminer le spectre de l'opérateur $T$ .

◀الحل

1.

$|Tf(x)| \leq M\|f\|_\infty$ , donc $\|Tf\|_\infty \leq M\|f\|_\infty$ , et $Tf$ est continue par le théorème de continuité des intégrales à paramètre. Donc $T \in B(E)$ .

2.

Par récurrence : $|T^n f(x)| \leq M\int_0^x |T^{n-1}f(t)|dt \leq M\int_0^x \frac{M^{n-1}}{(n-1)!}t^{n-1}\|f\|_\infty dt = \frac{M^n}{n!}x^n\|f\|_\infty$ . Donc $\|T^n\| \leq \frac{M^n}{n!}$ .

3.

$\|T^n\|^{1/n} \leq \left(\frac{M^n}{n!}\right)^{1/n} \to 0$ par formule de Stirling. Le rayon spectral $r(T) = \lim\|T^n\|^{1/n} = 0$ . Donc le spectre de $T$ est $\{0\}$ .

$\boxed{\sigma(T) = \{0\}.}$