مسابقة دكتوراه 2017 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ tels que $0<x<y$.

1. En appliquant le théorème des accroissements finis, montrer que

$$x<\frac{y-x}{\ln y-\ln x}<y.$$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par

$$f(\alpha)=\ln\!\bigl(\alpha x+(1-\alpha)y\bigr)-\alpha\ln x-(1-\alpha)\ln y.$$

a. Vérifier que $f''\le 0$, puis étudier le signe de $f'$ sur $[0,1]$.

b. Déduire que, pour tout $0<\alpha<1$,

$$\alpha\ln x+(1-\alpha)\ln y<\ln\!\bigl(\alpha x+(1-\alpha)y\bigr).$$

c. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

Dans $\mathbb{R}$, on définit

$$d(x,y)= \begin{cases} 0,& x=y,\\ |x|+|y|,& x\ne y. \end{cases}$$

1. Montrer que $d$ est une distance.
2. Déterminer toutes les boules ouvertes et fermées.
3. Montrer que $\{0\}$ est fermé mais n'est pas ouvert.
4. Montrer que, pour tout $x\ne0$, le singleton $\{x\}$ est à la fois ouvert et fermé.
5. Montrer que toute boule ouverte est une partie fermée.

Soit $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ analytique sur le domaine

$$\{z\in\mathbb{C}:|z|>1\},$$

telle que $\displaystyle\lim_{z\to\infty}f(z)=0$.

1. Fixons $z\in\mathbb{C}$. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $M_\varepsilon>2|z|$ tel que

$$\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{|\xi|=M_\varepsilon}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\right|<\varepsilon.$$

2. En déduire que, si $|z|>2$, alors

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{|\xi|=2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi=-f(z).$$