مسابقة دكتوراه 2019 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

FB_IMG_1572464352486.pdf, Concours d'accès au doctorat 3e cycle LMD 2019/2020, les trois spécialités du doctorat en Mathématiques, épreuve Analyse mathématique générale, Variante 1, 19/10/2019

التمرين 1

Somme de Riemann et dérivée en 0

#somme de Riemann#limite#dérivée

On veut calculer la limite

\ell=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right).

Montrer l'existence de la limite $\ell$ .
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ dérivable avec $f(0)=0$ . Montrer que

\lim_{n\to\infty}\left(f\!\left(\tfrac1{n+1}\right)+f\!\left(\tfrac1{n+2}\right)+\cdots+f\!\left(\tfrac1{2n}\right)\right)=\ell\,f'(0).

On prend $f(x)=\ln(x+1)$ . Déterminer $\ell$ .

◀الحل

$\sum_{k=1}^{n}\frac1{n+k}=\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac{1}{1+k/n}$ est une somme de Riemann de $\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2$ , donc $\ell=\ln2$ . 2. Comme $f(0)=0$ et $f$ dérivable, $f(t)=f'(0)t+o(t)$ ; en sommant sur $t=\frac1{n+k}$ (tous $\to0$ ) : $\sum f(\frac1{n+k})=f'(0)\sum\frac1{n+k}+o(1)\to\ell f'(0)$ . 3. Pour $f=\ln(1+x)$ , $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , donc la limite du 2 vaut $\ell\cdot1=\ln2$ .

التمرين 2

Distance d'un compact à une partie

#espace métrique#compact#distance

Soient $A$ un sous-ensemble compact d'un espace métrique $(X,d)$ et $B\subset X$ .

Montrer qu'il existe $p\in A$ tel que $d(p,B)=d(A,B)$ .
En déduire que si $B$ est fermé et disjoint de $A$ ( $A\cap B=\varnothing$ ), alors $d(A,B)>0$ .

◀الحل

La fonction $a\mapsto d(a,B)$ est continue (1-lipschitzienne) sur le compact $A$ , donc atteint son minimum en un point $p\in A$ ; ce minimum est $\inf_{a\in A}d(a,B)=d(A,B)$ . 2. Si $d(A,B)=0$ , alors $d(p,B)=0$ donc $p\in\bar B=B$ (car $B$ fermé), contredisant $A\cap B=\varnothing$ . Donc $d(A,B)>0$ .

التمرين 3

Borne inférieure de l'intégrale produit (inégalité de Cauchy-Schwarz)

#Cauchy-Schwarz#borne inférieure#intégrale

On désigne par $C([0,1];\mathbb{R}_+^*)$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ vers $\mathbb{R}_+^*$ . Pour $f\in C([0,1];\mathbb{R}_+^*)$ , on pose

M_f=\int_0^1 f(x)\,dx\cdot\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx.

Montrer que $X=\{M_f:f\in C([0,1];\mathbb{R}_+^*)\}$ possède une borne inférieure et la déterminer.
Déterminer les $f$ pour lesquels $M_f=\inf X$ .
L'ensemble $X$ possède-t-il une borne supérieure ?

◀الحل

Par Cauchy-Schwarz, $1=\bigl(\int\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}\bigr)^2\le\int f\cdot\int\frac1f=M_f$ , donc $M_f\ge1$ et $\inf X=1$ . 2. Égalité dans Cauchy-Schwarz ssi $\sqrt f$ et $1/\sqrt f$ proportionnelles, i.e. $f$ constante ; alors $M_f=1$ . Donc $\inf X=1$ atteint exactement pour les fonctions constantes. 3. Non : en prenant $f$ très contrastée, $M_f\to+\infty$ , donc $X$ n'est pas majoré et n'a pas de borne supérieure.