مسابقة دكتوراه 2019 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 3سا

FB_IMG_1572196445946.pdf, Concours d'accès au doctorat 3e cycle LMD 2019/2020, spécialité Analyse Mathématiques et Application, épreuve Analyse Numérique et Réel, Variante 3, 19/10/2019

التمرين 1

Localisation des valeurs propres (disques de Gershgorin)

#valeurs propres#Gershgorin#diagonale dominante

Soit $\lambda$ une valeur propre arbitraire d'une matrice carrée $A$ de rang $n$ . Démontrer que pour un entier $k$ $(1 \leq k \leq n)$ , on a :

|a_{k,k} - \lambda| \leq |a_{k1}| + |a_{k2}| + \cdots + |a_{k,k-1}| + |a_{k,k+1}| + \cdots + |a_{kn}|

◀الحل

Soit $x$ un vecteur propre associé à $\lambda$ , et $x_k$ sa composante de plus grande valeur absolue (donc $|x_m/x_k|\le1$ pour tout $m$ ). La $k$ -ième équation de $Ax=\lambda x$ s'écrit $\sum_{j}a_{kj}x_j=\lambda x_k$ , soit $(a_{kk}-\lambda)x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j$ . En divisant par $x_k$ et en appliquant l'inégalité triangulaire avec $|x_j/x_k|\le1$ , on obtient $|a_{kk}-\lambda|\le\sum_{j\ne k}|a_{kj}|$ : c'est le disque de Gershgorin.

التمرين 2

Dichotomie et méthode de Newton pour x^3+x-1

#dichotomie#Newton#racine

On considère la fonction $f$ définie par :

f(x) = x^3 + x - 1, \quad x \in \mathbb{R}

Montrer que $f(x) = 0$ admet une racine réelle unique $\alpha \in ]0,1[$ .
Déterminer par la méthode de dichotomie une approximation de $\alpha$ à $10^{-1}$ près en utilisant le test d'arrêt $|x_{n+1} - x_n| \leq \varepsilon$ .

Comparer le nombre d'itérations effectif avec le nombre :

N = \left\lceil \frac{\log\!\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)}{\log(2)} \right\rceil + 1 = 4

Effectuer deux itérations avec la méthode de Newton en démarrant de $x_0 = \dfrac{1}{2}$ .

◀الحل

$f$ est continue, $f'(x)=3x^2+1\ge1>0$ donc strictement croissante ; $f(0)f(1)=(-1)(1)<0$ , donc par le TVI une unique racine $\alpha\in]0,1[$ . 2. Dichotomie depuis $[0,1]$ : $x_0=0.5$ ( $f<0$ ), puis intervalles $[0.5,1]$ , $[0.5,0.75]$ , $[0.625,0.75]$ , donnant $x_3\approx0.6875$ ; environ 4 itérations, cohérent avec $N=4$ . 3. Newton : $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+x_n-1}{3x_n^2+1}$ . De $x_0=0.5$ : $x_1=0.5-\frac{-0.375}{1.75}\approx0.714$ , puis $x_2\approx0.6832$ , proche de $\alpha\approx0.6823$ : convergence bien plus rapide que la dichotomie.

التمرين 3

Approximation du Laplacien par différences finies et ordre 4

#différences finies#Laplacien#consistance

On considère l'approximation de différences finies de l'opérateur Laplacien :

\Delta_h^{(4)} = \frac{4}{3}\Delta_h^{(2)} - \frac{1}{3}\Delta_{2h}^{(2)}

L'opérateur $\Delta_h^{(2)}$ est donné par :

En dimension 1 :

\left(\Delta_h^{(2)} u\right)_i = \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h}

En dimension 2 :

\left(\Delta_h^{(2)} u\right)_{i,j} = \frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{h^2}

Montrer que $\Delta_h^{(4)}$ est une approximation d'ordre 4 du Laplacien, en dimension 1 et 2.
Expliciter l'opérateur $\left(\left(\Delta_h^{(4)}\right)^2 u\right)_i$ .

◀الحل

Par développement de Taylor, $(\Delta_1^{(h)}u)_i=u''(x_i)+\frac{h^2}{12}u^{(4)}(x_i)+O(h^4)$ : le schéma standard est d'ordre 2. L'ordre 4 s'obtient en corrigeant par $\Delta^{(h)}=\Delta_1^{(h)}-\frac{h^2}{12}(\Delta_1^{(h)})^2$ (ou schéma à 5 points compact), éliminant le terme en $h^2$ ; le résidu est alors $O(h^4)$ . Même raisonnement séparément sur chaque direction en 2D. 2. $((\Delta_1^{(h)})^2 u)_i=\frac{1}{h^4}\bigl(u_{i+2}-4u_{i+1}+6u_i-4u_{i-1}+u_{i-2}\bigr)$ , approximation de $u^{(4)}(x_i)$ .