مسابقة دكتوراه 2019 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 03

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

FB_IMG_1572464352486.pdf, Concours d'accès au doctorat 3e cycle LMD 2019/2020, spécialité Équations Différentielles et Applications, épreuve EDP partielle et EDO, Variante 1, 19/10/2019

التمرين 1

Problème variationnel avec termes de bord et régularité H^2

#formulation variationnelle#Lax-Milgram#H^2#dérivée faible

On note $I = ]0,1[$ et $f \in L^2(I)$ . On considère le problème variationnel $(PV)$ :

(PV) : \begin{cases} u \in H^1(I) \text{ vérifiant :} \\[6pt] \displaystyle\int_0^1 \bigl(u'(x)v'(x) + u(x)v(x)\bigr)\,dx + u(1)v(1) + u(0)v(0) = \int_0^1 f(x)v(x)\,dx, \quad \forall v \in H^1(I). \end{cases}

a) Expliquer pourquoi, lorsque $u$ et $v$ sont dans $H^1(I)$ , chacun des termes figurant dans la relation de $(PV)$ est bien défini.

b) Montrer que $(PV)$ admet une unique solution $u \in H^1(I)$ .

c) Soit $u$ la solution de $(PV)$ . Montrer qu'il existe $w \in L^2(I)$ (à déterminer) tel que :

\forall \varphi \in \mathcal{D}(I), \quad \int_0^1 u'(x)\varphi'(x)\,dx = -\int_0^1 w(x)\varphi(x)\,dx

d) Montrer que $u \in H^2(0,1)$ et déterminer l'équation vérifiée par $u$ dans le domaine $I$ .

N.B. : $\mathcal{D}(I)$ désigne l'espace des fonctions $C^\infty(I)$ à support compact.

◀الحل

a) $H^1(I)\hookrightarrow C(\bar I)$ (en dimension 1), donc $u(0),u(1)$ ont un sens et tous les termes intégraux sont finis par Cauchy-Schwarz. b) La forme $a(u,v)=\int(u'v'+uv)+u(1)v(1)+u(0)v(0)$ est bilinéaire continue et coercive ( $a(u,u)\ge\|u\|_{H^1}^2$ ), $v\mapsto\int fv$ est continue ; Lax-Milgram conclut. c) En prenant $v=\varphi\in D(I)$ (termes de bord nuls), $\int u'\varphi'=\int(f-u)\varphi$ , donc $w=u-f$ et $\int u'\varphi'=-\int(f-u)\varphi$ . d) Ainsi $u'$ a une dérivée faible $u''=u-f\in L^2$ , donc $u\in H^2(I)$ et $-u''+u=f$ sur $I$ (avec conditions de Robin $u'(1)+u(1)=0$ , $-u'(0)+u(0)=0$ issues des termes de bord).

التمرين 2

Non-unicité du problème de Cauchy y'=3y^{2/3}

#problème de Cauchy#non-unicité#Lipschitz

Montrer que le problème de Cauchy :

y'(t) = 3y(t)^{\frac{2}{3}}, \quad y(0) = 0

admet une infinité de solutions. Pourquoi l'unicité de solution n'est-elle pas assurée ?

◀الحل

La fonction nulle $y\equiv0$ est solution. Pour tout $c\ge0$ , la fonction $y(t)=0$ si $t\le c$ et $y(t)=(t-c)^3$ si $t>c$ est aussi solution (on vérifie $y'=3(t-c)^2=3y^{2/3}$ ). Il y a donc une infinité de solutions. L'unicité (Cauchy-Lipschitz) échoue car $y\mapsto3y^{2/3}$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de $y=0$ (sa dérivée $2y^{-1/3}$ explose).

التمرين 3

Forme canonique et solution générale d'une EDP parabolique

#EDP second ordre#forme canonique#caractéristiques

Soit l'EDP suivante :

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2y\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + y\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \tag{1}

a) Indiquer la forme canonique de $(1)$ .

b) Trouver la forme générale des solutions.

◀الحل

Le discriminant $B^2-AC=y^2-y^2=0$ : l'équation est parabolique. Les caractéristiques vérifient $\frac{dy}{dx}=-y$ , soit $ye^{x}=\text{cste}$ . On pose $\xi=ye^{x}$ , $\eta=x$ . Dans ces variables l'équation se réduit à $\frac{\partial^2 u}{\partial\eta^2}=0$ (forme canonique parabolique). En intégrant deux fois en $\eta$ : $u=\eta\,f(\xi)+g(\xi)$ , d'où

u(x,y)=x\,f(ye^{x})+g(ye^{x}),

avec $f,g$ arbitraires de classe $C^2$ .