مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1 · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Commun pour les trois spécialités de Mathématiques — Épreuve Analyse mathématique générale (Variante 1), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 01 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Fonctions dans H¹(]-1,1[) : |x| et Heaviside

#sobolev-spaces#weak-derivative#absolute-value#heaviside

Soit $I = ]-1, 1[$ . Les fonctions suivantes sont-elles dans $H^1(I)$ ?

$f(x) = |x|$ , $x \in I$ .
$h(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \lt 1, \\\\ 0 & -1 \lt x \lt 0. \end{cases}$

◀الحل

1.

$f(x) = |x|$ . Sa dérivée faible est $f'(x) = \text{sgn}(x) = 2H(x)-1$ (fonction signe). $f' \in L^2(]-1,1[)$ car $\int|f'|^2 = 2$ . Donc $f \in H^1(]-1,1[)$ .

Par contre, $f \notin H^2(]-1,1[)$ car $f'' = 2\delta_0 \notin L^2$ .

2.

$h(x)$ est la fonction de Heaviside sur $I$ . Sa dérivée au sens des distributions est $h' = \delta_0$ (mesure de Dirac). Comme $\delta_0 \notin L^2(]-1,1[)$ , $h \notin H^1(]-1,1[)$ .

\boxed{f = |x| \in H^1(I), \quad h \notin H^1(I)}

التمرين 2

Exercice 2 — Opérateurs entre espaces de Hilbert et théorème du graphe fermé

#functional-analysis#hilbert-space#closed-graph-theorem#linear-operator

Soient $E, F$ deux espaces de Hilbert réels avec $\langle T(x), y \rangle_F = \langle x, S(y) \rangle_E$ pour tout $(x,y) \in E \times F$ .

(2 pts) Vérifier que $T$ et $S$ sont linéaires.
(4 pts) Énoncer le théorème du graphe fermé puis montrer que $T$ et $S$ sont continus.

◀الحل

1.

$\langle T(\lambda x + \mu y), z \rangle_F = \langle \lambda x + \mu y, S(z) \rangle_E = \lambda\langle T(x),z\rangle_F + \mu\langle T(y),z\rangle_F$ . Donc $T$ est linéaire. Idem pour $S$ .

2.

Théorème du graphe fermé : Si $X, Y$ sont des Banach et $T : X \to Y$ linéaire, alors $T$ est continu ssi son graphe $G(T) = \{(x, Tx) : x \in X\}$ est fermé dans $X \times Y$ .

Soit $(x_n) \subset E$ avec $x_n \to 0$ et $T(x_n) \to y$ . Alors $\|y\|_F^2 = \langle y, y \rangle = \lim \langle T(x_n), y \rangle = \lim \langle x_n, S(y) \rangle = \langle 0, S(y) \rangle = 0$ . Donc $y = 0$ et $G(T)$ est fermé. Par le théorème, $T$ est continu. Idem pour $S$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Forme bilinéaire sur H¹ : définie positive mais non coercive

#functional-analysis#bilinear-form#coercivity#sobolev-spaces

Sur $H^1(]0,1[)$ muni de la norme usuelle, on définit $a(u,v) = \int_0^1 u(x)v(x)dx$ .

(2 pts) Montrer que $a$ est définie positive.
(3 pts) Avec $u_n(x) = \cos(n\pi x)$ , calculer $a(u_n, u_n)$ et $\|u_n\|_{H^1}^2$ . En déduire que $a$ n'est pas coercive.
(3 pts) Soit $b(u,v) = \int_0^1 u_x v_x dx - \omega^2 \int_0^1 uv \, dx$ . Calculer $b(1,1)$ et $b(u_1,u_1)$ et déduire que $b$ n'est ni coercive ni définie positive.

◀الحل

1.

Si $u \neq 0$ dans $L^2$ , $a(u,u) = \int u^2 dx \gt 0$ .

2.

$a(u_n, u_n) = \int_0^1 \cos^2(n\pi x)dx = 1/2$ .

$\|u_n\|_{H^1}^2 = \int \cos^2(n\pi x)dx + n^2\pi^2\int \sin^2(n\pi x)dx = \frac{1}{2}(1 + n^2\pi^2)$ .

Pour tout $\alpha \gt 0$ , il existe $n$ tel que $a(u_n,u_n) = 1/2 \lt \alpha \cdot \frac{1}{2}(1+n^2\pi^2) = \alpha\|u_n\|_{H^1}^2$ est faux pour $n$ assez grand. Donc $a$ n'est pas coercive.

3.

$b(1,1) = 0 - \omega^2 = -\omega^2 \lt 0$ , donc $b$ n'est pas définie positive.

$b(u_1,u_1) = \pi^2\int \sin^2(\pi x)dx - \omega^2\int \cos^2(\pi x)dx = \frac{1}{2}(\pi^2 - \omega^2)$ , qui peut être positif ( $\omega \lt \pi$ ) ou négatif ( $\omega \gt \pi$ ). Donc $b$ n'est pas définie positive et pas coercive.