مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $f \in L^2(]0,1[)$. Considèrons le problème :

$$(\mathcal{P}) : \begin{cases} -\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) = f(t), & \forall t \in ]0,1[, \\[6pt] \dfrac{du}{dt}(0) = \dfrac{du}{dt}(1) = 0. \end{cases}$$

1. Déterminer une condition nécessaire sur $f$ pour que le problème $(\mathcal{P})$ ait une solution.

2. Soit $H_m = \left\{ v \in H^1(]0,1[) : \int_0^1 v(t)\, dt = 0 \right\}$ le sous-espace des fonctions à moyenne nulle dans $H^1(]0,1[)$. Montrer que $H_m$ muni de la norme de $H^1(]0,1[)$ est un espace de Hilbert.

3. Rappeler l'inégalité de Poincaré pour les éléments de $H^1_0(]0,1[) \subset H^1(]0,1[)$ (on supposera que cette inégalité est vérifiée aussi dans $H_m$).

4. Formuler le problème variationnel associé à $(\mathcal{P})$, et montrer qu'il est bien posé.

Soit le système différentiel :

$$(S) : \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = \mu x - y - x(x^2 + y^2) \\[8pt] \dfrac{dy}{dt} = x + \mu y - y(x^2 + y^2) \end{cases}, \quad \mu \geq 0$$

1. Appliquer la méthode de Bifurcation de Hopf à $(S)$.

2. Quel est le genre, et que concluez-vous ?

   On donne :

$$a = \frac{1}{16}\left[f_{xxx} + g_{xxy} + g_{yyy}\right] + \frac{1}{16\omega}\left[(f_{xy}(f_{xx}+f_{yy}) - g_{xy}(g_{xx}+g_{yy})) - f_{xx}g_{xx} + f_{yy}g_{yy}\right]$$

Considèrons l'équation différentielle non linéaire suivante :

$$\frac{d^2x(t,\varepsilon)}{dt^2} + \varepsilon\bigl(x^2(t,\varepsilon) - 1\bigr)\frac{dx(t,\varepsilon)}{dt} + x(t,\varepsilon) = 0 \tag{1}$$ $$x(0,\varepsilon) = A, \quad \frac{dx(0,\varepsilon)}{dt} = 0, \quad 0 < \varepsilon \ll 1.$$

1. Utiliser la méthode de Lindstedt pour trouver une solution approximative du premier ordre de l'équation $(1)$.

2. Appliquer la méthode de moyennisation pour trouver une solution approximative, l'amplitude et étudier la stabilité du cycle limite de l'équation $(1)$.

3. Montrer que : si $x = r\cos\theta$ et $|\varepsilon\cos\theta(1 - r^2\cos^2\theta)\sin\theta| < 1$, alors :

$$\frac{dr}{d\theta} = -\varepsilon r(1 - r^2\cos^2\theta)\sin^2\theta + O(\varepsilon^2)$$