مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1 · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Commun pour les trois spécialités de Mathématiques — Épreuve Analyse mathématique générale (Variante 3), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 01 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrabilité dans L³ et appartenance à H¹

#sobolev-spaces#lp-spaces#holder-inequality#piecewise-linear

Exercice 1. (06 points)

Soient $f,g\in L^3(\mathbb{R})$ . Montrer que

f^2g\in L^1(\mathbb{R}).

Soit

f:\,]0,1[\longrightarrow\mathbb{R}

définie par

f(x)= \begin{cases} x, & 0<x\leq\dfrac12,\\[1ex] 1-x, & \dfrac12<x<1. \end{cases}

Montrer que

f\in H^1(]0,1[).

◀الحل

1.

Par Hölder avec $p = 3/2$ et $q = 3$ : $\int |f^2 g| \leq (\int |f|^{2 \cdot 3/2})^{2/3}(\int |g|^3)^{1/3} = \|f\|_3^2 \|g\|_3 \lt \infty$ .

\boxed{f^2g \in L^1(\mathbb{R})}

2.

$\int_0^1 |f|^2 dx = \int_0^{1/2} x^2 dx + \int_{1/2}^1 (1-x)^2 dx = 1/12 + 1/12 = 1/6 \lt \infty$ .

$f'(x) = \begin{cases} 1 & 0 \lt x \lt 1/2 \\\\ -1 & 1/2 \lt x \lt 1 \end{cases}$ . $f'$ n'est pas continue mais $f' \in L^2(]0,1[)$ car $\int |f'|^2 = 1$ .

Donc $f, f' \in L^2(]0,1[)$ et $f \in H^1(]0,1[)$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Sous-espace fermé de H¹(Ω) avec condition de Dirichlet

#sobolev-spaces#closed-subspace#hilbert-space#trace-operator

Soit

\Omega=]a,b[, \qquad a<b.

On définit

V=\left\{v\in H^1(\Omega):v(a)=0\right\}.

Expliquer pourquoi l'ensemble $V$ est bien défini.
Montrer que $V$ est fermé dans $H^1(\Omega)$ .
En déduire que $V$ est un espace de Hilbert pour la norme induite par celle de $H^1(\Omega)$ .

◀الحل

1.

$\Omega = ]a,b[$ est ouvert dans $\mathbb{R}$ , donc $H^1(\Omega) \hookrightarrow C([a,b])$ (injection de Sobolev en dimension 1). Ainsi l'évaluation en $a$ est bien définie pour les éléments de $H^1$ .

2.

La forme linéaire $F : H^1(\Omega) \to \mathbb{R}$ , $v \mapsto v(a)$ est continue (par l'injection $H^1 \hookrightarrow C^0$ ). Donc $V = \ker(F)$ est fermé comme noyau d'une forme linéaire continue.

3.

$H^1(\Omega)$ est un espace de Hilbert. $V$ est un sous-espace fermé d'un Hilbert, donc complet. Ainsi $V$ est un espace de Hilbert pour la norme induite.

\boxed{V \text{ est un espace de Hilbert}}

التمرين 3

Exercice 3 — Forme bilinéaire continue sur H de dimension finie : compacité et coercivité

#functional-analysis#bilinear-form#coercivity#compactness#finite-dimension

Soit $H$ un espace de Hilbert réel de dimension finie (par exemple $H=\mathbb{R}^n$ ). Soient $\langle\cdot,\cdot\rangle$ le produit scalaire sur $H$ et $\|\cdot\|$ la norme associée.

Soient

a:H\times H\longrightarrow\mathbb{R}

une forme bilinéaire continue,

S=\{u\in H:\|u\|=1\},

f:S\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad f(u)=a(u,u).

Montrer que $S$ est compacte (on peut généraliser le cas $H=\mathbb{R}$ ).
On suppose que $a$ est définie positive.

Montrer qu'il existe $\bar{u}\in H$ tel que

f(\bar{u})\leq f(u), \qquad \forall\,u\in S.

Montrer que

\alpha=f(\bar{u})>0,

et en déduire que $a$ est coercive.

On suppose que $a$ est coercive.

Soit $v\neq0$ et posons

u=\frac{v}{\|v\|}.

Montrer que

f(u)\geq\alpha.

En déduire que $a$ est définie positive.

Définition. On dit que $a$ est coercive s'il existe une constante $C>0$ telle que

a(u,u)\geq C\|u\|^2, \qquad \forall\,u\in H.

◀الحل

1.

$S$ est fermée (préimage de $\{1\}$ par la norme continue) et bornée dans $\mathbb{R}^N$ . Par Heine-Borel (dimension finie), $S$ est compacte.

2.

$f$ est continue sur $S$ compacte, donc atteint son minimum en $\bar{u} \in S$ . Si $a$ est définie positive : $\alpha = f(\bar{u}) = a(\bar{u},\bar{u}) \gt 0$ car $\bar{u} \neq 0$ .

Pour tout $v \in H$ , $v \neq 0$ : $u = v/\|v\| \in S$ , donc $a(u,u) \geq \alpha$ , i.e. $a(v,v)/\|v\|^2 \geq \alpha$ , i.e. $a(v,v) \geq \alpha\|v\|^2$ . Donc $a$ est coercive.

3.

$u = v/\|v\| \in S$ , donc $f(u) = a(u,u) \geq \alpha \gt 0$ . Cela donne $a(v,v) \geq \alpha\|v\|^2 \gt 0$ pour $v \neq 0$ . Donc $a$ est définie positive.

\boxed{\text{En dimension finie : } a \text{ coercive} \iff a \text{ définie positive}}