مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 2 · المدة: 2سا

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Equations Différentielles et Applications — Épreuve : Equations Différentielles et Applications (Variante 1), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 02 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Problème biharmonique et théorème de Lax-Milgram

#pde#lax-milgram#sobolev-spaces#biharmonic#variational-formulation

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un ouvert (non vide) borné et assez régulier. Étant donné $f \in L^2(\Omega)$ , on considère le problème

Trouver $u \in H^2(\Omega)$ , tel que

(P_{var}) \quad \sum_{i,j=1}^N \int_\Omega \frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i^2} \frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_j^2} dx = \int_\Omega f(x) v(x) dx, \quad \forall v \in H^2(\Omega).

(3 pts) Quelles sont les hypothèses du théorème de Lax-Milgram vérifiées par le problème $(P_{var})$ ?
(3 pts) Peut-on utiliser le théorème de Lax-Milgram pour montrer l'existence et l'unicité de la solution du problème $(P_{var})$ ? (justifier votre réponse).

◀الحل

1.

$H^2(\Omega)$ est un espace de Hilbert. La forme bilinéaire $a(u,v) = \sum_{i,j} \int_\Omega \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_j^2} dx$ est bien une forme bilinéaire continue sur $H^2(\Omega)$ (par inégalité de Hölder). La forme linéaire $L(v) = \int_\Omega f(x)v(x)dx$ est continue sur $H^2(\Omega)$ (par Hölder).

2.

Non, on ne peut pas utiliser le théorème de Lax-Milgram car $a(\cdot,\cdot)$ n'est pas coercive sur $H^2(\Omega)$ . En effet, pour toute fonction $v$ constante et non nulle, $v \in H^2(\Omega)$ mais $a(v,v) = 0$ car toutes les dérivées secondes sont nulles. Donc il n'existe pas $\alpha \gt 0$ tel que $a(v,v) \geq \alpha \|v\|_{H^2}^2$ . La coercivité est une condition nécessaire pour appliquer Lax-Milgram.

\boxed{\text{Non, car } a(\cdot,\cdot) \text{ n'est pas coercive sur } H^2(\Omega)}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation intégrale de Volterra : point fixe de Banach

#integral-equations#fixed-point#banach-contraction#volterra

Soient $E = C([a,b], \mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_E$ , $K : [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue, $\varphi \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . On considère l'opérateur $A : E \to E$ défini par

Au(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds.

(3 pts) Montrer par récurrence sur $n$ que $\exists M \gt 0$ :

\|A^n u - A^n v\|_E \leq \frac{(|\lambda| M(b-a))^n}{n!} \|u - v\|_E \quad \forall u, v \in E.

(3 pts) Déduire que pour tout réel $\lambda$ , l'équation $u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds$ admet une unique solution dans $E$ .

◀الحل

1.

Posons $M = \max_{a \leq t,s \leq b} |K(t,s)|$ .

Pour $n = 1$ : $|Au(t) - Av(t)| = |\lambda| \left|\int_a^t K(t,s)(u(s)-v(s))ds\right| \leq |\lambda| M (t-a) \|u-v\|_E \leq |\lambda| M (b-a) \|u-v\|_E$ .

Si vrai au rang $n$ , alors $|A^{n+1}u(t) - A^{n+1}v(t)| \leq |\lambda| M \int_a^t \frac{(|\lambda|M(s-a))^n}{n!} \|u-v\|_E ds = \frac{(|\lambda|M(t-a))^{n+1}}{(n+1)!}\|u-v\|_E$ .

Donc $\|A^{n+1}u - A^{n+1}v\|_E \leq \frac{(|\lambda|M(b-a))^{n+1}}{(n+1)!}\|u-v\|_E$ .

2.

Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ , on peut choisir $n$ assez grand tel que $\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!} \lt 1$ . Alors $A^n$ est contractant. Par suite $A$ admet un unique point fixe dans $E$ (principe de contraction de Banach), qui est la solution de l'équation intégrale.

\boxed{u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds \text{ admet une unique solution}}

التمرين 3

Exercice 3 — Équation de Van der Pol modifiée : Lindstedt et moyennisation

#ode#perturbation-methods#lindstedt#averaging-method#van-der-pol

Considérons l'équation différentielle non linéaire suivante :

\frac{d^2x(t,\varepsilon)}{dt^2} + \varepsilon(x^2(t,\varepsilon) - 1)\frac{dx(t,\varepsilon)}{dt} + (1 + a\varepsilon)x(t,\varepsilon) = 0, \quad x(0,\varepsilon) = A, \quad \frac{dx(0,\varepsilon)}{dt} = 0, \quad (1)

où $0 \lt \varepsilon \ll 1$ , et $\lambda$ , $a$ deux constantes réelles.

(4 pts) Trouver la solution approximative de Lindstedt du premier ordre de l'équation (1).
(4 pts) Appliquer la méthode de la moyenne pour trouver une solution approximative de l'équation (1).

◀الحل

1. Méthode de Lindstedt

On réécrit : $\ddot{x} + x = \varepsilon(-(x^2-1)\dot{x} - ax) \Rightarrow F = -(x^2-1)\dot{x} - ax$ .

On pose $y(\theta,\varepsilon) = y_0(\theta) + \varepsilon y_1(\theta)$ et $\omega(\varepsilon) = 1 + \varepsilon\omega_1 + \ldots$

Ordre 0 : $\ddot{y}_0 + y_0 = 0$ , solution $y_0(\theta) = A\cos\theta$ .

Ordre 1 : $\ddot{y}_1 + y_1 = -2\omega_1 \ddot{y}_0 - \dot{y}_0^2$ ... Après calcul et élimination des termes séculaires (condition $\omega_1 = -a/2$ , $A = 2$ ) :

y_1(\theta) = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin 3\theta

\boxed{y(\theta,\varepsilon) = 2\cos\theta + \varepsilon\left(\frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin 3\theta\right), \quad \omega(\varepsilon) = 1 - \varepsilon\frac{a}{2} + O(\varepsilon)}

2. Méthode de la moyenne

Avec $\omega = 1$ , $F = -(x^2-1)\dot{x} - ax$ . On pose $x = A\cos\theta$ , $\dot{x} = -A\sin\theta$ .

Les équations moyennées donnent $\dot{A} = \frac{\varepsilon A}{8}(4 - A^2)$ et $\dot{\Phi} = \frac{\varepsilon a}{2}$ .

On résout $\dot{A} = \frac{\varepsilon A}{8}(4-A^2)$ par séparation de variables : $A(t) = \frac{2}{[(4/A_0^2-1)e^{-\varepsilon t}+1]^{1/2}}$ .

$A(t) \to 2$ quand $t \to +\infty$ (indépendamment de $A_0$ ). Avec $\Phi(t) = \frac{\varepsilon a t}{2} + \frac{\pi}{2}$ :

\boxed{x(t) = \frac{2}{[(4/A_0^2-1)e^{-\varepsilon t}+1]^{1/2}} \sin\left(t + \frac{\varepsilon a t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}