مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

On s'intéresse à la discrétisation du problème suivant :

$$(\mathcal{P}) : \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} - \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - u(x,t) = 0, & (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}_+, \\ u(0,t) = u(1,t) = 0, & t \in \mathbb{R}^*_+, \\ u(x,0) = u_0(x), & x \in [0,1]. \end{cases}$$

Pour :

$$x_i = ih, \quad h = \frac{1}{N+1}, \quad i = 0,1,\ldots,N+1, \qquad t_n = nk,\ n \in \mathbb{N}.$$

On considère le schéma suivant :

$$\begin{cases} \dfrac{u_i^{n+1} - u_i^n}{k} - \dfrac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{h^2} - u_i^{n+1} = 0, & i = 1,\ldots,N,\ n \in \mathbb{N}, \\[6pt] u_0^{n+1} = u_{N+1}^{n+1} = 0, & n \in \mathbb{N}, \\[4pt] u_i^0 = u_0(x_i), & i = 1,\ldots,N. \end{cases}$$

1. Montrer que le schéma demande, à chaque pas de temps, la résolution du système linéaire :

$$AU^{n+1} = b \tag{1}$$

où $A \in \mathbb{R}^{N,N}$, $b \in \mathbb{R}^N$ à déterminer.

2. Prouver que le système $(1)$ admet une solution unique.

3. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\|U^n\|_\infty = \displaystyle\sup_{i=1,\ldots,N} |u_i^n|$.

   3.1. Montrer que :

$$\frac{1}{1+k} \leq 1 + \beta k,$$

pour $\beta = \dfrac{1}{1-\alpha}$, $k \in ]0,\alpha[$ et $\alpha \in ]0,1[$.

3.2. Sous quelle condition sur $k$ et $h$ le schéma est-il stable ? En déduire que :

$$\|U^n\|_\infty \leq e^{\beta T} \|U^0\|_\infty$$

La répartition des contraintes est donnée par le tenseur suivant dans le repère $(O, e_1, e_2, e_3)$ :

$$\sigma(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 & \sigma_{12}(x_1,x_2) & 0 \\ \sigma_{12}(x_1,x_2) & x_1 - 2x_2 & 3 \\ 0 & 0 & x_2 \end{bmatrix}$$

La contrainte agissant au point $M(0,1)$ sur un plan vertical de normale inclinée de $45°$ par rapport à l'axe $Ox_1$ est une contrainte de cisaillement pur $\tau$.

Déterminer $\sigma_{12}(x_1, x_2)$ et donner la valeur de $\tau$.

Soit $\Omega$ un ouvert borné régulier de classe $C^1$, $f \in L^2(\Omega)$ et $g$ une trace sur $\partial\Omega$ d'une fonction de $H^1(\Omega)$. On considère le problème :

$$\begin{cases} -\Delta u = f, & \text{dans } \Omega, \\ u + \dfrac{\partial u}{\partial n} = g, & \text{sur } \partial\Omega. \end{cases} \tag{2}$$

1. Montrer que toute solution du problème $(2)$ est une solution d'un problème de la forme :

$$\begin{cases} \text{Trouver } u \in V, \\ a(u,v) = L(v), \quad \forall v \in V \end{cases} \tag{3}$$

où $V$ est un espace de Hilbert, $a$ et $L$ sont des formes bilinéaire et linéaire respectivement.

2. Montrer qu'il existe une solution unique du problème $(3)$.

3. Déduire une autre formulation variationnelle du problème $(2)$ à la forme d'optimisation :

$$\begin{cases} u \in V, \\ J(u) = \displaystyle\min_{v \in V} J(v). \end{cases}$$