مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

On considère le problème suivant :

$$(\mathcal{P}) : \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} + a\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0, & x \in \mathbb{R},\ t \in [0,T], \\ u(x,0) = u_0(x). \end{cases}$$

où $u_0 \in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $T > 0$ et $a > 0$. On se donne :

$$\Delta t = k = \frac{T}{N+1}, \quad t_n = nk, \quad \Delta x = h, \quad x_i = ih, \quad \lambda = \frac{ak}{h}.$$

1. Montrer que la solution $u$ de $(\mathcal{P})$ satisfait :

$$u(x_i, t^{n+1}) = u(x_i, t^n) - ak\frac{\partial u}{\partial x}(x_i, t^n) + \frac{1}{2}a^2k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i, t^n) + O(k^3) \tag{1}$$

et si $\lambda = 1$, $u(x_i, t^{n+1}) = u(x_{i-1}, t^n)$.

2. Montrer que l'égalité $(1)$ donne le schéma suivant :

$$\begin{cases} u_i^{n+1} = u_i^n - \dfrac{1}{2}\lambda(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) + \dfrac{1}{2}\lambda^2(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n), & n > 0,\ i \in \mathbb{Z}, \\[6pt] u_i^0 = u_0(x_i). \end{cases}$$

2.1. Donner l'ordre de consistence du schéma.

2.2. Étudier la stabilité du schéma pour la norme $L^\infty$.

En un point $M$ d'un solide élastique, l'état des contraintes est donné par :

$$\sigma = \begin{bmatrix} a & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & b \end{bmatrix}, \quad a \text{ et } b \text{ sont des constantes réelles.}$$

On note $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ les contraintes principales de $\sigma$. La troisième direction associée à $\sigma_3$ est :

$$X_3 = \left(0,\ -\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$$

et la contrainte tangentielle maximale agissant au point $M$ est $\tau_{\max} = 6$.

Déterminer les constantes $a$ et $b$ et les contraintes principales $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$.

On pose $I = ]0,1[$. On cherche à résoudre le problème :

$$\begin{cases} -u'' + \alpha u^3 = f, & \text{dans } I, \\ u(0) = u(1) = 0, \end{cases} \tag{2}$$

où $f$ est une fonction continue donnée et $\alpha$ un paramètre réel positif donné.

1. Soient $u_1$ et $u_2$ deux fonctions de classe $C^2$ solutions de $(2)$. Démontrer que :

$$\int_0^1 |u_1' - u_2'|^2\, dx + \alpha \int_0^1 (u_1^3 - u_2^3)(u_1 - u_2)\, dx = 0$$

En déduire que nécessairement $u_1 = u_2$.

2. Montrer que toute solution $u \in C^2(]0,1[)$ du problème $(2)$ vérifie la formulation suivante :

$$\forall v \in H^1_0(I), \quad \int_0^1 u'v'\, dx + \alpha \int_0^1 u^3 v\, dx = \int_0^1 f v\, dx \tag{3}$$

3. On s'intéresse au problème $(\mathcal{P})$ : Trouver $u \in H^1_0(I)$ vérifiant $(2)$. On introduit la fonctionnelle énergie :

$$E(v) = \frac{1}{2}\int_0^1 |v'|^2\, dx + \frac{\alpha}{4}\int_0^1 |v|^4\, dx - \int_0^1 f v\, dx$$

3.1. Démontrer que l'énergie $E$ est minorée sur $H^1_0(I)$.

3.2. Soit $u \in H^1_0(I)$ telle que $E(u) = \inf\{E(v),\ v \in H^1_0(I)\}$. Démontrer que $u$ est une solution du problème $(\mathcal{P})$.