مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $f \in L^2(]0,1[)$.

1. Étant donné $t_0 \in [0,1]$, montrer que :

$$|v(t_0)| \leq \sqrt{2}\, \|v\|_{H^1}, \quad \forall v \in H^1(]0,1[)$$

2. Formuler le problème variationnel, et montrer l'existence et l'unicité de la solution du problème aux limites suivant :

$$\begin{cases} -\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + u(t) = f(t), & t \in ]0,1[, \\[6pt] \dfrac{du}{dt}(0) = u(0), \quad \dfrac{du}{dt}(1) = -1. \end{cases}$$

Soient $E = C([a,b], \mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$, $K : [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue, et $\varphi \in E$.

Donner une condition suffisante sur $\lambda \in \mathbb{R}$ pour que l'équation :

$$u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^b K(t,s)\, u(s)\, ds$$

admette une unique solution dans $E$.

Soit le système différentiel :

$$(S) : \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = -y + \mu(x + 2xy^2) \\[8pt] \dfrac{dy}{dt} = x + \mu(-3y + 6x^2y^2) \end{cases}, \quad \mu \geq 0$$

1. Appliquer la méthode de Bifurcation de Hopf à $(S)$. Quel est le genre, et que concluez-vous ?

2. Si $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, calculer $\dfrac{dr}{d\theta}$.

   On donne :

$$a = \frac{1}{16}\left[f_{xxx} + g_{xxy} + g_{yyy}\right] + \frac{1}{16\omega}\left[(f_{xy}(f_{xx}+f_{yy}) - g_{xy}(g_{xx}+g_{yy})) - f_{xx}g_{xx} + f_{yy}g_{yy}\right]$$