مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert borné et assez régulier. Étant donné $f \in L^2(\Omega)$, on considère le problème :

$$(\mathcal{P}_{var}) : \begin{cases} \text{Trouver } u \in H^2(\Omega) \text{ tel que} \\[6pt] \displaystyle\sum_{i,j=1}^{n} \int_\Omega \frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i^2} \frac{\partial^2 v(x)}{\partial x_j^2}\, dx = \int_\Omega f(x)v(x)\, dx, \quad \forall v \in H^2(\Omega). \end{cases}$$

1. Quelles sont les hypothèses du théorème de Lax-Milgram vérifiées par le problème $(\mathcal{P}_{var})$ ?

2. Peut-on utiliser le théorème de Lax-Milgram pour montrer l'existence et l'unicité de la solution du problème $(\mathcal{P}_{var})$ ? Justifier votre réponse.

Soient $E = C([a,b], \mathbb{R})$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, $K : [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ continue, $\varphi \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On considère l'opérateur $A : E \to E$ défini par :

$$Au(t) := \varphi(t) + \lambda \int_a^b K(t,s)\, u(s)\, ds$$

1. Montrer par récurrence sur $n$ que $\exists M > 0$ :

$$\|A^n u - A^n v\|_E \leq \frac{(|\lambda| M (b-a))^n}{n!}\, \|u - v\|_E, \quad \forall u, v \in E$$

2. Déduire que pour tout réel $\lambda$, l'équation :

$$u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^b K(t,s)\, u(s)\, ds$$

admet une unique solution dans $E$.

Considèrons l'équation différentielle non linéaire suivante :

$$\frac{d^2x(t,\varepsilon)}{dt^2} + \varepsilon\bigl(x^2(t,\varepsilon) - 1\bigr)\frac{dx(t,\varepsilon)}{dt} + (1 + a\varepsilon)\, x(t,\varepsilon) = 0 \tag{1}$$ $$x(0,\varepsilon) = A, \quad \frac{dx(0,\varepsilon)}{dt} = 0, \quad 0 < \varepsilon \ll 1$$

où $\lambda$ et $a$ sont deux constantes réelles.

1. Trouver la solution approximative de Lindstedt du premier ordre de l'équation $(1)$.

2. Appliquer la méthode de la moyenne pour trouver une solution approximative de l'équation $(1)$.