مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 2 · المدة: 2سا

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Equations Différentielles et Applications — Épreuve : Equations Différentielles et Applications (Variante 2), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 02 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Problème de Neumann : formulation variationnelle et Lax-Milgram

#pde#variational-formulation#lax-milgram#sobolev-spaces#neumann-conditions

Soit $f \in L^2(]0,1[)$ . Considérons le problème

(P) \begin{cases} -\frac{d^2u}{dt^2}(t) + u(t) = f(t), & \text{pour } t \in ]0,1[, \\\\ \frac{du}{dt}(0) = u(0), \quad \frac{du}{dt}(1) = -1. \end{cases}

(1,5 pts) Étant donné $t_0 \in [0,1]$ , montrer que $|v(t_0)| \leq \sqrt{2}\|v\|_{H^1(]0,1[)}$ , $\forall v \in H^1(]0,1[)$ .
(4,5 pts) Formuler le problème variationnel, et montrer l'existence et l'unicité de la solution faible du problème aux valeurs limites.

◀الحل

1.

$v(t_0) = v(t) + \int_t^{t_0} v'(s)ds$ , d'où $|v(t_0)| \leq |v(t)| + \int_0^1 |v'(s)|ds$ . Par Hölder et en intégrant :

$|v(t_0)| \leq \|v\|_{L^2} + \|v'\|_{L^2} \leq \sqrt{2}(\|v\|_{L^2}^2 + \|v'\|_{L^2}^2)^{1/2} = \sqrt{2}\|v\|_{H^1}$ .

2.

Par multiplication par $v \in H^1$ et IPP : trouver $u \in H^1(]0,1[)$ t.q.

$a(u,v) = L(v)$ , $\forall v \in H^1(]0,1[)$ ,

où $a(u,v) = \int_0^1 u'v' dt + \int_0^1 uv \, dt + u(0)v(0)$ et $L(v) = \int_0^1 fv \, dt - v(1)$ .

$a$ est continue : $|a(u,v)| \leq \|u'\|_2\|v'\|_2 + \|u\|_2\|v\|_2 + |u(0)||v(0)| \leq 4\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ .

$a$ est coercive : $a(v,v) = \|v'\|_2^2 + \|v\|_2^2 + |v(0)|^2 \geq \|v\|_{H^1}^2$ .

$L$ est continue : $|L(v)| \leq (\|f\|_2 + \sqrt{2})\|v\|_{H^1}$ .

Par Lax-Milgram, le problème admet une unique solution.

\boxed{\text{Existence et unicité par Lax-Milgram}}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation intégrale de Volterra : condition suffisante et contraction

#integral-equations#fixed-point#banach-contraction#volterra

Soient $E = C([a,b], \mathbb{R})$ muni de $\|\cdot\|_E$ , $K : [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ continue. Fixons $\varphi \in E$ . Donner une condition suffisante sur $\lambda \in \mathbb{R}$ pour que l'équation

u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds

admette une unique solution dans $E$ .

◀الحل

L'opérateur $A : E \to E$ défini par $Au(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds$ est bien défini. Posons $M = \max_{a \leq t,s \leq b} |K(t,s)|$ .

$|Au(t) - Av(t)| \leq |\lambda| M (b-a) \|u-v\|_E$ .

Donc pour $|\lambda| M(b-a) \lt 1$ , $A$ est contractant et admet un unique point fixe par Banach.

\boxed{\text{Condition suffisante : } |\lambda| \lt \frac{1}{M(b-a)}}

التمرين 3

Exercice 3 — Système dynamique plan : bifurcation de Hopf et cycle limite

#dynamical-systems#hopf-bifurcation#limit-cycle#polar-coordinates

Soit le système différentiel

\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y + \mu(x + 2xy^2) \\\\ \frac{dy}{dt} = x + \mu(-3y + 6x^2y^2) \end{cases}, \quad \mu \geq 0. \quad (1)

(4 pts) Appliquer la méthode de Bifurcation de Hopf à (1). Quel genre, et que concluez-vous ?
(4 pts) Si $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , calculer $\frac{dr}{d\theta}$ .

◀الحل

1.

L'origine $(0,0)$ est point d'équilibre. La matrice jacobienne est $J = \begin{pmatrix} \mu & -1 \\\\ 1 & -3\mu \end{pmatrix}$ .

$P_J(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda\mu - 3\mu^2 + 1 = 0$ . Valeurs propres $\lambda_{1,2} = \mu \pm i\sqrt{1-4\mu^2}$ (pour $\mu$ petit).

Conditions de Hopf : $\text{sgn}(w) = \text{sgn}(\partial g_y/\partial x|_{\mu=0}(0,0)) = 1$ , $w = 1$ .

$d\alpha/d\mu|_{\mu=0} = -1 = d \lt 0$ .

Calcul de $a = \frac{1}{16}[f_{xxx}+f_{xyy}+g_{xxy}+g_{yyy}] + \ldots = \frac{1}{4}$ .

$ad = -1/4 \lt 0$ : il existe un cycle limite pour $\mu \gt 0$ . $d = -1 \lt 0$ : le point d'équilibre $(0,0)$ est instable pour $\mu \gt 0$ . $a \gt 0$ : la bifurcation est sous-critique, le cycle limite est instable.

2.

$r\dot{r} = x\dot{x} + y\dot{y}$ et $\dot{\theta} = (x\dot{y}-y\dot{x})/r^2$ . Après calcul avec $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ :

$\dot{r} = \mu r\cos^2\theta + 2r^3\cos^2\theta\sin^2\theta + 6\mu r^4\cos^2\theta\sin^3\theta + 3r\sin^2\theta$ ...

$\frac{dr}{d\theta} = \frac{\mu r\cos^2\theta + 2r^3\cos^2\theta\sin^2\theta + ...}{\mu r[\cos^2\theta(1+2r^2\sin^2\theta) + \sin^2\theta(-3+6r^3\cos^2\theta\sin\theta)]}$