مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 2 · المدة: 2سا

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Equations Différentielles et Applications — Épreuve : Equations Différentielles et Applications (Variante 3), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 02 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Problème de Sturm-Liouville : injection de Sobolev et Lax-Milgram

#pde#lax-milgram#sobolev-spaces#sturm-liouville#variational-formulation

Soit $f \in L^2(]0,1[)$ .

(2 pts) Étant donné $t_0 \in [0,1]$ , montrer que $|v(t_0)| \leq \sqrt{2}\|v\|_{H^1(]0,1[)}$ , $\forall v \in H^1(]0,1[)$ .
(4 pts) Formuler le problème variationnel, et montrer l'existence et l'unicité de la solution faible du problème aux valeurs limites suivant

\begin{cases} -\frac{d^2u}{dt^2}(t) + u(t) = f(t), & \text{pour } t \in ]0,1[, \\\\ \frac{du}{dt}(0) = u(0), \quad \frac{du}{dt}(1) = -1. \end{cases}

◀الحل

1.

Même démonstration que Variante 2 : $|v(t_0)| \leq \sqrt{2}\|v\|_{H^1}$ par Hölder.

2.

Formulation variationnelle : trouver $u \in H^1(]0,1[)$ t.q. $a(u,v) = L(v)$ , $\forall v \in H^1$ .

$a(u,v) = \int_0^1 u'v' dt + \int_0^1 uv dt + u(0)v(0)$ et $L(v) = \int_0^1 fv dt - v(1)$ .

Continuité de $a$ : $|a(u,v)| \leq 4\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ .

Coercivité : $a(v,v) = \|v'\|_2^2 + \|v\|_2^2 + |v(0)|^2 \geq \|v\|_{H^1}^2$ (avec $\alpha = 1$ ).

Continuité de $L$ : $|L(v)| \leq (\|f\|_2 + \sqrt{2})\|v\|_{H^1}$ .

$H^1(]0,1[)$ est un espace de Hilbert. Par Lax-Milgram, le problème admet une unique solution faible.

\boxed{\text{Unique solution par Lax-Milgram}}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation intégrale de Volterra : condition suffisante

#integral-equations#fixed-point#banach-contraction

Soient $E = C([a,b], \mathbb{R})$ , $K : [a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ continue. Fixons $\varphi \in E$ . Donner une condition suffisante sur $\lambda \in \mathbb{R}$ pour que l'équation

u(t) = \varphi(t) + \lambda \int_a^t K(t,s)u(s)ds

admette une unique solution dans $E$ .

◀الحل

Même raisonnement que Variante 2 : $A$ est contractant pour $|\lambda| M(b-a) \lt 1$ où $M = \max |K(t,s)|$ . Par Banach, unique point fixe.

\boxed{|\lambda| \lt \frac{1}{M(b-a)}}

التمرين 3

Exercice 3 — Système dynamique : bifurcation de Hopf et coordonnées polaires

#dynamical-systems#hopf-bifurcation#polar-coordinates#limit-cycle

Soit le système différentiel

\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y + \mu(x + 2xy^2) \\\\ \frac{dy}{dt} = x + \mu(-3y + 6x^2y^2) \end{cases}, \quad \mu \geq 0. \quad (1)

(4 pts) Appliquer la méthode de Bifurcation de Hopf à (1). Quel genre, et que concluez-vous ?
(4 pts) En posant $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , calculer $\frac{dr}{d\theta}$ .

◀الحل

1.

Jacobienne en $(0,0)$ : $J = \begin{pmatrix} \mu & -1 \\\\ 1 & -3\mu \end{pmatrix}$ . $P_J(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda\mu - 3\mu^2 + 1$ . Valeurs propres $\lambda_{1,2} = -\mu \pm i\sqrt{1-4\mu^2}$ .

$\text{sgn}(w) = 1$ , $d = \frac{d\alpha}{d\mu}|_{\mu=0} = -1 \lt 0$ .

$a = \frac{1}{16}[4] = \frac{1}{4}$ . $ad = -1/4 \lt 0$ : cycle limite pour $\mu \gt 0$ . $a \gt 0$ : bifurcation sous-critique, orbite périodique instable.

2.

$r\dot{r} = x\dot{x} + y\dot{y}$ et $\dot{\theta} = (x\dot{y} - y\dot{x})/r^2$ . Après substitution et calcul :

$\dot{r} = \mu r\cos^2\theta + 2r^3\cos^2\theta\sin^2\theta + 6\mu r^4\cos^2\theta\sin^3\theta + 3r\sin^2\theta$

$\frac{dr}{d\theta}$ est obtenu en divisant $\dot{r}$ par $\dot{\theta}$ .