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مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المعامل: 3 · المدة: 2سا

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Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Mathématiques appliquées — Épreuve Mathématiques appliquées (Variante 2), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 03 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Schéma implicite pour l'équation de réaction-diffusion

#numerical-analysis#finite-differences#implicit-scheme#stability#reaction-diffusion

On s'intéresse à la discrétisation du problème :

(P){∂u∂t−∂2u∂x2−u(x,t)=0(x,t)∈[0,1]×R+u(0,t)=u(1,t)=0t∈R+∗u(x,0)=u0(x)x∈[0,1].(P) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - u(x,t) = 0 & (x,t) \in [0,1] \times \mathbb{R}_+ \\\\ u(0,t) = u(1,t) = 0 & t \in \mathbb{R}_+^* \\\\ u(x,0) = u_0(x) & x \in [0,1]. \end{cases}

Schéma implicite :

uin+1−uink−ui+1n+1−2uin+1+ui−1n+1h2−uin+1=0.\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{k} - \frac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{h^2} - u_i^{n+1} = 0.
  1. (3 pts) Montrer que le schéma demande la résolution de AUn+1=bAU^{n+1} = b.
  2. (2 pts) Prouver que le système admet une solution unique.
  3. (3 pts) Montrer que (1+k)n≤(1+k)T/k(1+k)^n \leq (1+k)^{T/k}. Sous quelle condition sur kk et hh le schéma est stable, en déduire que ∥Un∥∞≤eT∥U0∥∞\|U^n\|_\infty \leq e^T \|U^0\|_\infty.
◀الحل

1.

En posant λ=k/h2\lambda = k/h^2 : (1+2λ−k)uin+1−λui+1n+1−λui−1n+1=uin(1+2\lambda-k)u_i^{n+1} - \lambda u_{i+1}^{n+1} - \lambda u_{i-1}^{n+1} = u_i^n. Cela donne AUn+1=UnAU^{n+1} = U^n avec A=λ1+ktridiag(−1,2+(1−k)/λ,−1)A = \frac{\lambda}{1+k}\text{tridiag}(-1, 2+(1-k)/\lambda, -1).

2.

AA est une matrice tridiagonale symétrique de la forme tridiag(−1,2+Ci,−1)\text{tridiag}(-1, 2+C_i, -1) avec Ci=(1−k)/λC_i = (1-k)/\lambda. Pour k∈]0,1[k \in ]0,1[, Ci>0C_i \gt 0, donc AA est définie positive. Le système admet une solution unique.

3.

Comme nk≤Tnk \leq T, on a n≤T/kn \leq T/k et (1+k)n≤(1+k)T/k(1+k)^n \leq (1+k)^{T/k}.

Du schéma pour k∈]0,1[k \in ]0,1[ : uin+1=11−kuinu_i^{n+1} = \frac{1}{1-k}u_i^n (dans le cas le plus simple), donc ∥Un+1∥∞≤11−k∥Un∥∞\|U^{n+1}\|_\infty \leq \frac{1}{1-k}\|U^n\|_\infty.

Par récurrence : ∥Un∥∞≤(11−k)n∥U0∥∞≤(1+βk)T/k∥U0∥∞\|U^n\|_\infty \leq (\frac{1}{1-k})^n \|U^0\|_\infty \leq (1+\beta k)^{T/k}\|U^0\|_\infty avec β=11−α\beta = \frac{1}{1-\alpha}.

Comme (1+βk)T/k≤eβT=eT(1+\beta k)^{T/k} \leq e^{\beta T} = e^T (pour β=1\beta = 1, i.e. k<1k \lt 1) :

∥Un∥∞≤eT∥U0∥∞\boxed{\|U^n\|_\infty \leq e^T \|U^0\|_\infty}

التمرين 2

Exercice 2 — Tenseur des contraintes : valeurs propres et vecteur contrainte

#continuum-mechanics#stress-tensor#eigenvalues#principal-directions

L'état des contraintes en un point d'un solide est donné par

σ=(133313331).\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\\\ 3 & 1 & 3 \\\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
  1. (2 pts) Calculer les contraintes principales (σ1≥σ2≥σ3\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3).
  2. (2 pts) Déterminer le vecteur normal nn au plan PP qui coupe les axes de repère aux points A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,1,0)B(0,1,0) et C(0,0,2)C(0,0,2).
  3. (1,5 pts) Calculer les composantes normale σn\sigma_n et tangentielle σt\sigma_t du vecteur contrainte agissant sur le plan PP.
  4. (1,5 pts) Déterminer les directions principales du tenseur σ\sigma.
◀الحل

1.

det⁡(σ−λI)=(7−λ)(λ+2)2=0\det(\sigma - \lambda I) = (7-\lambda)(\lambda+2)^2 = 0. Les contraintes principales sont :

σ1=7 MPa,σ2=−2 MPa,σ3=−2 MPa\boxed{\sigma_1 = 7 \text{ MPa}, \quad \sigma_2 = -2 \text{ MPa}, \quad \sigma_3 = -2 \text{ MPa}}

2.

u⃗=B−A=[−1,1,0]\vec{u} = B-A = [-1,1,0], v⃗=C−A=[−1,0,2]\vec{v} = C-A = [-1,0,2]. u⃗∧v⃗=[2,2,1]\vec{u} \wedge \vec{v} = [2,2,1], ∣u⃗∧v⃗∣=3|\vec{u}\wedge\vec{v}| = 3.

n=[23,23,13]\boxed{n = \left[\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right]}

3.

T=σ⋅n=13[11,11,13]T = \sigma \cdot n = \frac{1}{3}[11, 11, 13]. σn=T⋅n=19/3≈6,33\sigma_n = T \cdot n = 19/3 \approx 6{,}33 MPa.

σt=∣T∣2−σn2≈2,36\sigma_t = \sqrt{|T|^2 - \sigma_n^2} \approx 2{,}36 MPa.

4.

Pour σ1=7\sigma_1 = 7 : (σ−7I)X=0(\sigma-7I)X = 0 donne X1=13[1,1,1]X_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}[1,1,1].

Pour σ2=−2\sigma_2 = -2 : X2=12[1,0,−1/2]X_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}[1,0,-1/\sqrt{2}] et X3=16[1,−2,1]X_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}[1,-2,1].

التمرين 3

Exercice 3 — Problème de Helmholtz : formulation variationnelle et Lax-Milgram

#pde#helmholtz-equation#variational-formulation#lax-milgram#energy-minimization

On pose ω\omega un ouvert quelconque de RN\mathbb{R}^N et soit f∈L2(ω)f \in L^2(\omega). On considère le problème :

(1){Δu+u=f,dans ω,u=0,sur ∂ω.(1) \begin{cases} \Delta u + u = f, & \text{dans } \omega, \\\\ u = 0, & \text{sur } \partial\omega. \end{cases}
  1. (2 pts) Trouver la formulation variationnelle sous la forme a(u,v)=L(v)a(u,v) = L(v), ∀v∈H01(ω)\forall v \in H_0^1(\omega). 2.1. (2 pts) Montrer qu'il existe une solution unique du problème (2). 2.2. (1 pt) Déduire un autre formulation variationnelle à la forme optimiser J(u)=min⁡v∈VJ(v)J(u) = \min_{v \in V} J(v).
◀الحل

1.

Par IPP : ∫ω∇u⋅∇v dx−∫ωuv dx=−∫ωfv dx\int_\omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx - \int_\omega uv \, dx = -\int_\omega fv \, dx, soit a(u,v)=∫ω∇u⋅∇v dx+∫ωuv dxa(u,v) = \int_\omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx + \int_\omega uv \, dx (en changeant les signes de l'équation) et L(v)=∫ωfv dxL(v) = \int_\omega fv \, dx.

V=H01(ω)V = H_0^1(\omega).

2.1.

a(⋅,⋅)a(\cdot,\cdot) est bilinéaire continue et coercive : a(v,v)=∥∇v∥22+∥v∥22=∥v∥H12a(v,v) = \|\nabla v\|_2^2 + \|v\|_2^2 = \|v\|_{H^1}^2. LL est continue. Par Lax-Milgram, existence et unicité.

2.2.

Comme aa est symétrique, le problème est équivalent à minimiser J(v)=12a(v,v)−L(v)=12∫∣∇v∣2dx+12∫∣v∣2dx−∫fv dxJ(v) = \frac{1}{2}a(v,v) - L(v) = \frac{1}{2}\int|\nabla v|^2 dx + \frac{1}{2}\int|v|^2 dx - \int fv \, dx sur V=H01(ω)V = H_0^1(\omega).

J(v)=12∥∇v∥22+12∥v∥22−∫fv dx\boxed{J(v) = \frac{1}{2}\|\nabla v\|_2^2 + \frac{1}{2}\|v\|_2^2 - \int fv\,dx}