مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 07

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Analyse mathématique et ses applications — Épreuve Analyse mathématique et ses applications (Variante 1), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 03 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Opérateur de multiplication sur ℓp : compacité et shifts

#functional-analysis#compact-operator#lp-spaces#multiplication-operator#shift-operator

Soit $p \in [1, \infty[$ . Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty(\mathbb{C})$ , on définit

T : \ell^p(\mathbb{C}) \to \ell^p(\mathbb{C}), \quad (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto (a_n u_n)_{n \in \mathbb{N}}.

(2 pts) Vérifier que $T$ est bien un endomorphisme continu de $\ell^p(\mathbb{C})$ .
(3 pts) Montrer que $T$ est compact si et seulement si $\lim a_n = 0$ .
(2 pts) Les shifts à droite et à gauche sur $\ell^p(\mathbb{C})$ sont-ils compacts ?

◀الحل

1.

$T$ est linéaire. $\|Tu\|_p \leq \|a\|_\infty \|u\|_p$ , donc $T$ est continu avec $\|T\| \leq \|a\|_\infty$ .

2.

$\Rightarrow$ : Si $a_n \to 0$ , on définit $T_N u = (a_0u_0, \ldots, a_Nu_N, 0, \ldots)$ de rang fini (donc compact). $\|(T-T_N)u\|_p \leq \sup_{n \gt N}|a_n| \|u\|_p \to 0$ . Donc $T$ est limite d'opérateurs compacts, donc compact.

$\Leftarrow$ : Si $T$ compact et $a_n \not\to 0$ , on extrait une sous-suite avec $|a_{n_k}| \geq \varepsilon$ . Alors $\|e_{n_k}/a_{n_k}\| \leq 1/\varepsilon$ mais $Te_{n_k} = e_{n_k}$ qui n'admet pas de sous-suite convergente (distance $\sqrt{2}$ entre deux termes). Contradiction.

3.

Le shift à droite $S$ envoie $e_n$ sur $e_{n+1}$ . $(Se_n)$ est dans la boule unité mais $\|Se_n - Se_m\| = \sqrt{2}$ pour $n \neq m$ . Pas de sous-suite convergente, donc $S$ n'est pas compact. Idem pour le shift à gauche.

\boxed{\text{Les shifts ne sont pas compacts}}

التمرين 2

Exercice 2 — Opérateur intégral de Volterra : spectre et rayon spectral

#functional-analysis#volterra-operator#spectrum#spectral-radius#integral-operator

Soit $E = C[0,1]$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ . Pour tout $f \in E$ , on définit l'opérateur $S$ par

(Sf)(t) = \int_0^t K(t,s)f(s) ds,

où $K(t,s)$ est une fonction réelle continue sur $[0,1] \times [0,1]$ .

(2 pts) Montrer que $S \in \mathcal{L}(E)$ .
(3 pts) Montrer que pour tout $n \geq 1$ et $t \in [0,1]$ : $|(S^nf)(t)| \leq \frac{(Mt)^n}{n!}\|f\|_\infty$ , où $M = \sup|K(s,t)|$ . En déduire $\|S^n\| \leq \frac{M^n}{n!}$ .
(2 pts) Déterminer le spectre de $S$ .

◀الحل

1.

$S$ est linéaire. Pour la continuité : $|(Sf)(t) - (Sf)(t_0)| \leq \|f\|_\infty \int_0^{t_0}|K(t,s)-K(t_0,s)|ds + \sup|K(t,s)| \|f\|_\infty |t-t_0| \to 0$ . Donc $Sf \in E$ et $\|Sf\|_\infty \leq M\|f\|_\infty$ .

2.

Par récurrence. Pour $n=1$ : $|Sf(t)| \leq Mt\|f\|_\infty$ . Si vrai au rang $n$ : $|S^{n+1}f(t)| = |S(S^nf)(t)| \leq \int_0^t M \frac{(Ms)^n}{n!}\|f\|_\infty ds = \frac{M^{n+1}t^{n+1}}{(n+1)!}\|f\|_\infty$ .

Donc $\|S^n\| \leq M^n/n!$ .

3.

$r(S) = \lim \|S^n\|^{1/n} \leq \lim (M^n/n!)^{1/n}$ . Comme $n! \geq (n/e)^n$ , $(M^n/n!)^{1/n} \leq Me/n \to 0$ . Donc $r(S) = 0$ .

\boxed{\sigma(S) = \{0\}}

التمرين 3

Exercice 3 — Espace métrique compact et point fixe unique

#metric-spaces#compact-spaces#fixed-point#contraction

Soit $(X,d)$ un espace métrique compact et $f : X \to X$ vérifiant $d(f(x),f(y)) \lt d(x,y)$ pour $x \neq y$ . Soit $g(x) = d(x,f(x))$ .

(2 pts) Montrer que $g$ est continue.
Soit $x_0$ tel que $g(x_0) = \inf g(x)$ . a. (1 pt) Vérifier l'existence de $x_0$ . b. (3 pts) Montrer que $x_0$ est un point fixe unique pour $f$ .

◀الحل

1.

$|g(x)-g(x_0)| \leq d(x,x_0) + d(f(x),f(x_0)) \leq 2d(x,x_0)$ . Donc $g$ est uniformément continue.

2.a.

$g$ continue sur $X$ compact atteint son minimum.

2.b.

Si $f(x_0) \neq x_0$ : $g(f(x_0)) = d(f(x_0),f(f(x_0))) \lt d(x_0,f(x_0)) = g(x_0)$ , contradiction avec $g(x_0) = \inf g$ . Unicité : si $f(y_0)=y_0$ et $y_0 \neq x_0$ , $d(f(x_0),f(y_0)) = d(x_0,y_0) \lt d(x_0,y_0)$ , contradiction.

\boxed{x_0 \text{ est l'unique point fixe}}