مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 09

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المعامل: 3 · المدة: 2سا

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Spécialité Analyse mathématique et ses applications — Épreuve (Variante 3), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 03 — Durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Opérateur normal : ||T²|| = ||T||²

#functional-analysis#normal-operator#operator-norm#hilbert-space

Montrer que si $T \in \mathcal{L}(H)$ est normal, alors $\|T^2\| = \|T\|^2$ .

(Indication : vous pouvez commencer par le cas auto-adjoint qui se traite plus facilement)

◀الحل

On a toujours $\|T^2\| \leq \|T\|^2$ . Il suffit de montrer $\|T\|^2 \leq \|T^2\|$ .

Cas auto-adjoint ( $T = T^*$ ) : $\|Tx\|^2 = \langle Tx, Tx \rangle = \langle T^*Tx, x \rangle = \langle T^2x, x \rangle \leq \|T^2\|\|x\|^2$ . Donc $\|T\|^2 \leq \|T^2\|$ .

Cas normal ( $TT^* = T^*T$ ) : $\|T^*T\|^2 = \|(T^*T)^2\| = \|T^{*2}T^2\|$ (car $T^*T$ est auto-adjoint). Mais aussi $\|T^*T\|^2 \leq \|T^{*2}\|\|T^2\|$ . Or $\|T^*T\| = \|T\|^2$ , donc $\|T\|^4 \leq \|T^2\|^2$ .

\boxed{\|T^2\| = \|T\|^2}

التمرين 2

Exercice 2 — Non-équivalence des normes L∞ et L¹ sur C[0,1]

#functional-analysis#normed-spaces#banach-space#equivalent-norms#completeness

Soit $E = C[0,1]$ muni de $\|u\|_\infty = \max|u(t)|$ et $\|u\|_1 = \int_0^1 |u(t)|dt$ .

(2 pts) Montrer que $I : (E, \|\cdot\|_\infty) \to (E, \|\cdot\|_1)$ est une bijection continue et déterminer sa norme.
(3 pts) Montrer que $I^{-1}$ n'est pas continue (utiliser $u_n(t) = t^n$ ).
(2 pts) En déduire que $(E, \|\cdot\|_1)$ n'est pas un espace de Banach.

◀الحل

1.

$I$ est linéaire bijective. $\|If\|_1 = \int|f| \leq \|f\|_\infty$ . Pour $f \equiv 1$ : $\|If\|_1 = 1 = \|f\|_\infty$ . Donc $\|I\| = 1$ .

2.

Si $I^{-1}$ était continue : $\|f\|_\infty \leq C\|f\|_1$ pour tout $f$ . Avec $f_n(t) = t^n$ : $\|f_n\|_\infty = 1$ et $\|f_n\|_1 = 1/(n+1) \to 0$ . Donc $1 \leq C/(n+1)$ pour tout $n$ , impossible.

3.

Si $(E, \|\cdot\|_1)$ était Banach, par le théorème d'isomorphisme de Banach, $I$ serait un isomorphisme (bijection continue entre Banach) et $I^{-1}$ serait continue. Contradiction avec la question 2.

\boxed{(C[0,1], \|\cdot\|_1) \text{ n'est pas complet}}

التمرين 3

Exercice 3 — Opérateur intégral de convolution sur L²[-π,π] : auto-adjoint et EDO

#functional-analysis#integral-operator#self-adjoint#convolution#ode

Sur $H = L^2[-\pi, \pi]$ , on considère l'opérateur intégral

(Tx)(t) = \int_{-\pi}^{+\pi} \cos(t-s) x(s) ds.

(2 pts) Vérifier que $Tx \in H$ et que $\|T\| \leq \pi$ .
(2 pts) Calculer l'adjoint $T^*$ de $T$ .
(2 pts) Démontrer que $Tx$ est deux fois dérivable et vérifie une EDO.
(2 pts) Donner une expression explicite de $Tx$ par deux façons.

◀الحل

1.

Par Cauchy-Schwarz : $|Tx(t)|^2 \leq \int|\cos(t-s)|^2 ds \cdot \int|x(s)|^2 ds = \pi \|x\|_2^2$ . Donc $\|Tx\|_2 \leq \pi\sqrt{2}\|x\|_2$ et $Tx \in H$ .

2.

$\langle Tx, y \rangle = \int x(s)(\int \cos(t-s)\overline{y(t)}dt)ds = \int x(s)\overline{(Ty)(s)}ds = \langle x, Ty \rangle$ . Donc $T^* = T$ (auto-adjoint, car $\cos$ est paire).

3.

$(Tx)'(t) = -\int_{-\pi}^\pi \sin(t-s)x(s)ds$ et $(Tx)''(t) = -\int_{-\pi}^\pi \cos(t-s)x(s)ds = -(Tx)(t)$ .

Donc $Tx$ vérifie $X'' + X = 0$ , i.e. $Tx(t) = a\cos t + b\sin t$ .

4.

i) Par la question 3 : $Tx(t) = a\cos t + b\sin t$ avec $a = \int_{-\pi}^\pi \cos s \, x(s) ds$ et $b = \int_{-\pi}^\pi \sin s \, x(s)ds$ .

ii) Par calcul direct : $\cos(t-s) = \cos t \cos s + \sin t \sin s$ . Donc $Tx(t) = \cos t \int \cos s \, x(s) ds + \sin t \int \sin s \, x(s) ds$ .