مسابقة دكتوراه 2022 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $\Omega$ un ouvert dans $\mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ de frontière $\Gamma$. Considèrons le problème aux valeurs limites avec conditions de Neumann :

$$\begin{cases} -\Delta u = f, & \text{dans } \Omega, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{sur } \Gamma \end{cases} \tag{1}$$

où $f \in C(\overline{\Omega})$ et $\dfrac{\partial}{\partial \nu}$ désigne la dérivée normale. Soit $u \in C^2(\overline{\Omega})$.

(i) Montrer que $u$ est une solution de $(1)$ si et seulement si $u$ satisfait :

$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\, dx = \int_\Omega f v\, dx, \quad \forall v \in C^1(\overline{\Omega})$$

(ii) En déduire une condition nécessaire qui assure l'existence d'une solution $u \in C^2(\overline{\Omega})$ de $(1)$.

Considèrons l'équation différentielle non linéaire suivante :

$$\frac{d^2 y}{dt^2}(t,\varepsilon) + y(t,\varepsilon) + \varepsilon\alpha\, y^2(t,\varepsilon) + \varepsilon^2\beta\, y^3(t,\varepsilon) = 0 \tag{2}$$ $$y(0,\varepsilon) = A, \quad \frac{dy}{dt}(0,\varepsilon) = 0, \quad t \in \mathbb{R}$$

où $0 < \varepsilon \ll 1$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^*$.

(i) Prouver que l'équation $(2)$ admet la solution périodique approximative de Lindstedt.

(ii) Trouver la solution approximative de Lindstedt du premier ordre de l'équation $(2)$.

On pose $I = ]0,1[$. On cherche à résoudre le problème :

$$\begin{cases} -u'' + \lambda u^3 = f, & \text{dans } I, \\ u(0) = u(1) = 0 \end{cases} \tag{3}$$

où $f$ est une fonction continue et $\lambda$ un paramètre réel positif donné.

(i) Soient $u_1$ et $u_2$ deux fonctions de classe $C^2$ solutions de $(3)$. Démontrer que :

$$\int_0^1 |u_1' - u_2'|^2\, dx + \lambda \int_0^1 (u_1^3 - u_2^3)(u_1 - u_2)\, dx = 0$$

En déduire que nécessairement $u_1 = u_2$.

(ii) (a) Démontrer l'inégalité suivante :

$$\forall a, b \in \mathbb{R}, \quad \left(\frac{a+b}{2}\right)^4 \leq \frac{1}{2}a^4 + \frac{1}{2}b^4$$

(b) Montrer que toute solution éventuelle $u \in C^2([0,1])$ du problème $(3)$ vérifie la formulation suivante :

$$\forall v \in H^1_0(I), \quad \int_0^1 u'v'\, dx + \lambda \int_0^1 u^3 v\, dx = \int_0^1 f v\, dx \tag{4}$$

(iii) On s'intéresse au problème variationnel :

$$\begin{cases} \text{Trouver } u \in H^1_0(I) \text{ tel que} \\[4pt] \displaystyle\int_0^1 u'v'\, dx + \lambda \int_0^1 u^3 v\, dx = \int_0^1 f v\, dx, \quad \forall v \in H^1_0(I). \end{cases} \tag{5}$$

Pourquoi ne peut-on pas utiliser le théorème de Lax-Milgram pour résoudre $(5)$ ?