مسابقة دكتوراه 2022 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 01

1.

En approchant $\partial_t u$ par une différence progressive et le laplacien par la différence centrée, pondérée par $\theta$ entre les instants $n$ et $n+1$ :

$\frac{U_j^{n+1}-U_j^{n}}{k}-\theta\,\frac{U_{j-1}^{n+1}-2U_j^{n+1}+U_{j+1}^{n+1}}{h^2}-(1-\theta)\,\frac{U_{j-1}^{n}-2U_j^{n}+U_{j+1}^{n}}{h^2}=f_j^{n+\theta}.$

En notant $A$ la matrice tridiagonale d'ordre $N$ du laplacien discret,

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & \\ -1 & 2 & -1 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -1 & 2 \end{pmatrix},$

et $r=\frac{k}{h^2}$, le schéma s'écrit

$\boxed{\ (I+r\theta A)\,U^{n+1}=(I-r(1-\theta)A)\,U^{n}+k\,F^{n+\theta}\ }$

2.

Analyse de von Neumann : les valeurs propres de $A$ sont $\mu_j=2-2\cos(j\pi h)=4\sin^2\!\big(\tfrac{j\pi h}{2}\big)\in\,]0,4[$. Le facteur d'amplification associé est

$g(\mu)=\frac{1-r(1-\theta)\mu}{1+r\theta\mu}.$

La stabilité $L^2$ équivaut à $|g(\mu)|\leq 1$ pour tout $\mu\in\,]0,4[$. Comme le dénominateur est $\gt 0$, l'inégalité $g(\mu)\leq 1$ est toujours vraie. Il reste $g(\mu)\geq -1$ :

$1-r(1-\theta)\mu\geq -(1+r\theta\mu)\iff 2\geq r\mu(1-2\theta).$

Si $\theta\geq\frac{1}{2}$ alors $1-2\theta\leq 0$ et l'inégalité est satisfaite pour tout $r\gt 0$ : schéma inconditionnellement stable.

$\boxed{\ \theta\geq\tfrac{1}{2}:\ \text{stabilité inconditionnelle.}\ }$

Si $\theta\lt\frac{1}{2}$, le pire cas est $\mu\to 4$, d'où $2\geq 4r(1-2\theta)$, soit

$\boxed{\ \theta\lt\tfrac{1}{2}:\ r\leq\frac{1}{2(1-2\theta)}\ (\text{condition CFL}).\ }$

1.

On multiplie par $v\in H_0^1(]0,1[)$ et on intègre par parties le terme $-u''$ (les termes de bord s'annulent car $v(0)=v(1)=0$) :

$\int_0^1 u'v'\,dx+\int_0^1 u'v\,dx+\int_0^1 uv\,dx=\int_0^1 fv\,dx.$

La formulation variationnelle est : trouver $u\in H_0^1$ tel que $a(u,v)=L(v)$ pour tout $v\in H_0^1$, avec

$a(u,v)=\int_0^1(u'v'+u'v+uv)\,dx,\qquad L(v)=\int_0^1 fv\,dx.$

$\boxed{\ a(u,v)=\int_0^1(u'v'+u'v+uv)\,dx,\quad L(v)=\int_0^1 fv\,dx.\ }$

2.

Continuité de $a$. Par Cauchy-Schwarz, $|a(u,v)|\leq \|u'\|\,\|v'\|+\|u'\|\,\|v\|+\|u\|\,\|v\|\leq C\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$.

Continuité de $L$. $|L(v)|\leq\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}\leq\|f\|_{L^2}\|v\|_{H^1}$.

Coercivité. Le terme d'advection disparaît : $\int_0^1 u'u\,dx=\big[\tfrac{u^2}{2}\big]_0^1=0$ car $u(0)=u(1)=0$. Donc

$a(u,u)=\int_0^1 u'^2\,dx+\int_0^1 u^2\,dx=\|u\|_{H^1}^2.$

Ainsi $a$ est coercive (constante $\alpha=1$). Les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont satisfaites.

$\boxed{\ \text{Il existe une unique solution faible }u\in H_0^1(]0,1[).\ }$

1.

$K$ est symétrique. Elle est à diagonale strictement dominante par lignes uniquement au bord, mais on vérifie qu'elle est définie positive par ses mineurs principaux (critère de Sylvester) :

$\Delta_1=2\gt 0,\quad \Delta_2=\det\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}=3\gt 0,\quad \Delta_3=\det K=4\gt 0.$

Donc $K$ est symétrique définie positive et le système $KU=F$ admet une unique solution.

$\boxed{\ K\ \text{SDP} \Rightarrow\ \text{solution unique.}\ }$

2.

Le système s'écrit

$\begin{cases} 2a-b=4 \\ -a+2b-c=-8 \\ -b+2c=8 \end{cases}$

De la première équation $b=2a-4$ ; de la troisième $c=\frac{8+b}{2}=\frac{8+2a-4}{2}=a+2$. En remplaçant dans la deuxième :

$-a+2(2a-4)-(a+2)=-8\ \Longrightarrow\ 2a-10=-8\ \Longrightarrow\ a=1.$

D'où $b=2(1)-4=-2$ et $c=1+2=3$.

$\boxed{\ (a,b,c)=(1,-2,3)\ }$