مسابقة دكتوراه 2022 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

Soit $H$ un espace de Hilbert complexe et $T \in \mathcal{L}(H)$ un opérateur positif.

1. Montrer que $\forall x, y \in H$ :

$$|\langle Tx, y \rangle|^2 \leq \langle Tx, x \rangle \langle Ty, y \rangle$$

2. En déduire que $\forall x, y \in H$ :

$$\|Tx\|^2 \leq \langle Tx, x \rangle \cdot \|T\|$$

3. Soit $S = \|S\|I - T$. Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \|Sx_n\| = 0$ et que $0 \in \sigma(S)$.

4. Soit $A \in \mathcal{L}(H)$ auto-adjoint. On note :

$$a = \inf\{ \langle Ax, x \rangle,\ \|x\| = 1 \}, \quad b = \sup\{ \langle Ax, x \rangle,\ \|x\| = 1 \}$$

i. Montrer que $a, b \in \sigma(A)$.

ii. Établir l'inclusion $\sigma(A) \subseteq [a, b]$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose :

$$A_n : \ell^2(\mathbb{C}) \to \ell^2(\mathbb{C}) \;;\quad A_n x = \left(0, 0, \ldots, \underbrace{x_1}_{n^{\text{me}}},\, \underbrace{x_2}_{(n+1)^{\text{me}}}, 0, 0, \ldots\right)$$

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $A_n$ est un opérateur linéaire borné et calculer sa norme.

2. Montrer que $\forall x \in H$, la suite $(A_n x)_{n \geq 1}$ converge faiblement vers $0$ (utiliser le théorème de représentation de Riesz).

3. Est-ce qu'il existe un opérateur $B \in \mathcal{L}(\ell^2(\mathbb{C}))$ tel que la suite $(A_n x)_{n \geq 1}$ converge simplement ?

4. Trouver l'opérateur $A_n^*$ l'adjoint de $A_n$.

5. Est-ce que l'opérateur $A_n^*$ est compact ?

Soit $H = L^2([0,1])$ et l'opérateur $T$ défini sur $H$ par le noyau :

$$K(x,t) = \begin{cases} \dfrac{\sinh(t)\sinh(1-t)}{\sinh(1)}, & \text{si } 0 \leq x \leq t \leq 1, \\[8pt] \dfrac{\sinh(x)\sinh(1-x)}{\sinh(1)}, & \text{si } 0 \leq t \leq x \leq 1. \end{cases}$$

1. Montrer que $T$ est compact.

2. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $T$.

3. Déterminer la norme de $T$.

4. En déduire la valeur de :

$$\sum_{n \geq 0} \frac{1}{1 + \pi^2 n^2}$$