مسابقة دكتوراه 2022 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued

On cherche une méthode numérique de résolution de l'équation de la chaleur :

$$(\mathcal{P}) : \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} - \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, & x \in [0,1],\ t > 0, \\ u(0,t) = u(1,t) = 0, \\ u(x,0) = u_0(x). \end{cases}$$

On discrète le temps et l'espace :

$$\Delta t > 0, \quad \Delta x = \frac{1}{N+1}, \quad r = \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}, \quad t_n = n\Delta t, \quad x_i = i\Delta x$$

On définit le $\theta$-schéma pour $\theta \in [0,1]$ :

$$(\mathcal{P}_h) : \begin{cases} \dfrac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} - \theta\, \dfrac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2} - (1-\theta)\,\dfrac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} = 0 \\[6pt] u_0^n = u_{N+1}^n = 0,\ n \in \mathbb{N}, \\[4pt] u_i^0 = u_0(x_i),\ i = 1,\ldots,N. \end{cases}$$

1. Mettre le problème $(\mathcal{P}_h)$ sous forme matricielle, puis montrer que $(\mathcal{P}_h)$ admet une solution unique.

2. Stabilité du schéma : Discuter suivant les valeurs de $\theta$ la stabilité du $\theta$-schéma en norme $\|\cdot\|_2$.

   Indication : $A = \text{tridg}(-1, 2, -1)$, les valeurs propres de $A$ sont :

$$\lambda_k = 4\sin^2\!\left(\frac{k\pi}{2(N+1)}\right), \quad k = 1, \ldots, N.$$

Soit $f \in L^2(]0,1[)$. On considère le problème aux limites :

$$(\mathcal{P}) : \begin{cases} u \in H^2(]0,1[), \\ -u'' + u' + u = f \quad \text{p.p. dans } ]0,1[, \\ u'(0) = u'(1) = 0. \end{cases}$$

1. Rechercher la formulation variationnelle associée à $(\mathcal{P})$ notée $(\mathcal{PV})$.

2. Montrer que $(\mathcal{PV})$ admet une unique solution.

3. Montrer que $u$ est solution de $(\mathcal{PV})$ si et seulement si $u$ est solution de $(\mathcal{P})$.

Le champ des contraintes est défini par le tenseur suivant dans un repère orthonormé $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ :

$$\sigma(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} a(x_1^2 - 4) & 4x_1x_2 - 1 & -6x_1x_3 \\ 4x_1x_2 - 1 & b(x_2^2 - 1) & 0 \\ -6x_1x_3 & 0 & c(x_3^2 + 1) \end{pmatrix}$$

où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles.

1. Écrire les équations d'équilibre statiques et trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

2. Écrire le tenseur des contraintes $\sigma_M$ au point $M(1,1,0)$.

3. Décomposer $\sigma_M$ en un tenseur sphérique $\sigma_M^{(s)}$ et un tenseur déviateur $\sigma_M^{(d)}$. Commenter le résultat.